Эффективная масса

Эффекти́вная ма́сса — величина, имеющая размерность массы и применяемая для удобного описания движения частицы в периодическом потенциале кристалла. Можно показать, что электроны и дырки в кристалле реагируют на электрическое поле так, как если бы они свободно двигались в вакууме, но с некой эффективной массой, которую обычно определяют в единицах массы электрона m_e (9,11×10⁻³¹ кг). Эффективная масса электрона в кристалле, вообще говоря, отлична от массы электрона в вакууме и может быть как положительной, так и отрицательной^[1].

Определение

Скорость движения электрона в кристалле равна групповой скорости электронных волн и определяется формулой

${\displaystyle v_{g}={\frac {d\omega }{dk}}={\frac {1}{\hbar }}{\frac {dE}{dk}}}$.

Здесь ${\displaystyle \omega }$ — частота,${\displaystyle k}$ — волновой вектор, ${\displaystyle E}$ — энергия электрона. За время ${\displaystyle dt}$ внешняя сила ${\displaystyle F}$ совершает работу по перемещению электрона, равную

${\displaystyle dE=v_{g}dtF={\frac {F}{\hbar }}{\frac {dE}{dk}}dt}$.

Отсюда находим ${\displaystyle F=\hbar {\frac {dk}{dt}}}$. Дифференцируя ${\displaystyle v_{g}}$ по времени, определим ускорение электрона

${\displaystyle a={\frac {dv_{g}}{dt}}={\frac {1}{\hbar }}{\frac {d^{2}E}{dk^{2}}}{\frac {dk}{dt}}}$.

Подставив сюда ${\displaystyle {\frac {dk}{dt}}}$ из формулы ${\displaystyle F=\hbar {\frac {dk}{dt}}}$, получим

${\displaystyle a={\frac {1}{\hbar ^{2}}}{\frac {d^{2}E}{dk^{2}}}F}$.

Эта формула выражает второй закон Ньютона ${\displaystyle a={\frac {F}{m^{*}}}}$. Здесь ${\displaystyle m^{*}}$ — эффективная масса. Сравнивая эти две формулы, получаем^[2]:

${\displaystyle m^{*}=\hbar ^{2}\cdot \left[{{d^{2}E} \over {dk^{2}}}\right]^{-1}.}$

Для свободной частицы закон дисперсии квадратичен, и таким образом эффективная масса является постоянной и равной массе покоя. В кристалле ситуация более сложна и закон дисперсии отличается от квадратичного. В этом случае использовать понятие массы можно только вблизи экстремумов кривой закона дисперсии, где эта функция может быть аппроксимирована параболой и, следовательно, эффективная масса не зависит от энергии.

Эффективная масса зависит от направления в кристалле и является в общем случае тензором.

Есть и другие подходы для вычисления эффективной массы электрона в кристалле^[3].

Те́нзор эффекти́вной ма́ссы — термин физики твёрдого тела, характеризующий сложную природу эффективной массы квазичастицы (электрона, дырки) в твёрдом теле. Тензорная природа эффективной массы иллюстрирует тот факт, что в кристаллической решётке электрон движется не как частица с массой покоя, а как квазичастица, у которой масса зависит от направления движения относительно кристаллографических осей кристалла. Эффективная масса вводится, когда имеется параболический закон дисперсии, иначе масса начинает зависеть от энергии. В связи с этим возможна отрицательная эффективная масса.

По определению эффективную массу находят из закона дисперсии^[4] ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon ({\vec {k}})}$

${\displaystyle m_{ij}^{-1}={\frac {1}{\hbar ^{2}k}}{\frac {\partial \varepsilon }{\partial k}}\delta _{ij}+{\frac {1}{\hbar ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\varepsilon }{\partial k^{2}}}-{\frac {1}{k}}{\frac {\partial \varepsilon }{\partial k}}\right){\frac {k_{i}k_{j}}{k^{2}}},\qquad (1)}$

где ${\displaystyle {\vec {k}}}$ — волновой вектор, ${\displaystyle \delta _{ij}}$ — символ Кронекера, ${\displaystyle \hbar }$ — Постоянная Планка-Дирака.

Эффективная масса для некоторых полупроводников

В нижеприведённой таблице указана^[5][6] эффективная масса электронов и дырок для полупроводников — простых веществ IV группы и бинарных соединений A^IIIB^V и A^IIB^VI.

Материал	Эффективная масса электронов, me	Эффективная масса дырок, mh
Группа IV
Si (4,2 K)	1,08	0,56
Ge	0,55	0,37
AIIIBV
GaAs	0,067	0,45
InSb	0,013	0,6
AIIBVI
ZnSe	0,17	1,44
ZnO	0,19	1,44

На этом сайте приводится температурная зависимость эффективной массы для кремния.

Экспериментальное определение

Традиционно эффективные массы носителей измерялись методом циклотронного резонанса, в котором измеряется поглощение полупроводника в микроволновом диапазоне спектра в зависимости от магнитного поля. Когда микроволновая частота равняется циклотронной частоте ${\displaystyle \omega _{c}={\frac {eB}{m^{*}c}},}$ в спектре наблюдается острый пик. В последние годы эффективные массы обычно определялись из измерения зонной структуры с использованием таких методов, как фотоэмиссия с угловым разрешением (ARPES), или более прямым методом, основанном на эффекте де Гааза — ван Альфена.

Эффективные массы могут также быть оценены при использовании коэффициента γ из линейного слагаемого низкотемпературного электронного вклада в теплоёмкость при постоянном объёме ${\displaystyle c_{v}.}$ Теплоёмкость зависит от эффективной массы через плотность состояний на уровне Ферми.

Важность

Как показывает таблица, полупроводниковые соединения A^IIIB^V, такие как GaAs и InSb, имеют намного меньшие эффективные массы, чем полупроводники из четвёртой группы периодической системы — кремний и германий. В самой простой теории электронного транспорта Друде дрейфовая скорость носителей обратно пропорциональна эффективной массе: ${\displaystyle {\vec {v}}={\begin{Vmatrix}\mu \end{Vmatrix}}\cdot {\vec {E}},}$ где ${\displaystyle {\begin{Vmatrix}\mu \end{Vmatrix}}={\frac {e\tau }{\begin{Vmatrix}m^{*}\end{Vmatrix}}}}$ и ${\displaystyle e}$ — заряд электрона. Быстродействие интегральных микросхем зависит от скорости носителей, и, таким образом, малая эффективная масса — одна из причин того, что GaAs и другие полупроводники группы A^IIIB^V используются вместо кремния в приложениях, где требуется широкая полоса пропускания.

Ссылки

• NSM archive
• Pastori Parravicini, G. Electronic States and Optical Transitions in Solids (англ.). — Pergamon Press (англ.)русск., 1975. Книга содержит исчерпывающее, но доступное обсуждение темы с обширным сравнением между теорией и экспериментом.

Примечания

Литература

• Епифанов Г. И. Физические основы микроэлектроники. — М.: Советское радио, 1971. — 376 с.