Эквивалентность массы и энергии

Эта статья включает описание термина «энергия покоя»

Эта статья включает описание термина «E=mc²»; см. также другие значения.

Эквивале́нтность ма́ссы и эне́ргии — физическая концепция теории относительности, согласно которой полная энергия физического объекта (физической системы, тела) равна его (её) массе, умноженной на размерный множитель квадрата скорости света в вакууме:

${\displaystyle \ E=mc^{2}}$,

(1)

где ${\displaystyle E}$ — энергия объекта, ${\displaystyle m}$ — его масса, ${\displaystyle c}$ — скорость света в вакууме, равная 299 792 458 м/с.

В зависимости от того, что понимается под терминами «масса» и «энергия», данная концепция может быть интерпретирована двояко:

1) с одной стороны, концепция означает, что масса тела (инвариантная масса, называемая также массой покоя)^[1] равна (с точностью до постоянного множителя c²)^[2] энергии, «заключённой в нём», то есть его энергии, измеренной или вычисленной в сопутствующей системе отсчёта (системе отсчёта покоя), так называемой энергии покоя, или в широком смысле внутренней энергии этого тела^[3],

${\displaystyle E_{0}=mc^{2}}$,

(2)

где ${\displaystyle E_{0}}$ — энергия покоя тела, ${\displaystyle m}$ — его масса покоя;

2) с другой стороны, можно утверждать, что любому виду энергии (не обязательно внутренней) физического объекта (не обязательно тела) соответствует некая масса; например, для любого движущегося объекта было введено понятие релятивистской массы, равной (с точностью до множителя c²) полной энергии этого объекта (включая кинетическую)^[4],

${\displaystyle \ m_{rel}c^{2}=E}$,

(3)

где ${\displaystyle E}$ — полная энергия объекта, ${\displaystyle m_{rel}}$ — его релятивистская масса.

Формула на небоскрёбе Тайбэй 101 во время одного из мероприятий Всемирного года физики (2005)

Первая интерпретация не является лишь частным случаем второй. Хотя энергия покоя является частным случаем энергии, а ${\displaystyle m}$ практически равна ${\displaystyle m_{rel}}$ в случае нулевой или малой скорости движения тела, но ${\displaystyle m}$ имеет выходящее за рамки второй интерпретации физическое содержание: эта величина является скалярным (то есть выражаемым одним числом) инвариантным (неизменным при смене системы отсчёта) множителем в определении 4-вектора энергии-импульса, аналогичным ньютоновской массе и являющимся её прямым обобщением^[5], и к тому же ${\displaystyle m}$ является модулем 4-импульса. Дополнительно, именно ${\displaystyle m}$ (а не ${\displaystyle m_{rel}}$) является единственным скаляром, который не только характеризует инертные свойства тела при малых скоростях, но и через который эти свойства могут быть достаточно просто записаны для любой скорости движения тела^[6].

Таким образом, ${\displaystyle m}$ — инвариантная масса — физическая величина, имеющая самостоятельное и во многом более фундаментальное значение^[7].

В современной теоретической физике концепция эквивалентности массы и энергии используется в первом смысле^[8]. Главной причиной, почему приписывание массы любому виду энергии считается чисто терминологически неудачным и поэтому практически вышло из употребления в стандартной научной терминологии, является следующая из этого полная синонимичность понятий массы и энергии. Кроме того, неаккуратное использование такого подхода может запутывать^[9] и в конечном итоге оказывается неоправданным. Таким образом, в настоящее время термин «релятивистская масса» в профессиональной литературе практически не встречается, а когда говорится о массе, имеется в виду инвариантная масса. В то же время термин «релятивистская масса» используется для качественных рассуждений в прикладных вопросах, а также в образовательном процессе и в научно-популярной литературе. Этот термин подчёркивает увеличение инертных свойств движущегося тела вместе с его энергией, что само по себе вполне содержательно^[10].

В наиболее универсальной форме принцип был сформулирован впервые Альбертом Эйнштейном в 1905 году, однако представления о связи энергии и инертных свойств тела развивались и в более ранних работах других исследователей.

В современной культуре формула ${\displaystyle E=mc^{2}}$ является едва ли не самой известной из всех физических формул, что обусловливается её связью с устрашающей мощью атомного оружия. Кроме того, именно эта формула является символом теории относительности и широко используется популяризаторами науки^[11].

Эквивалентность инвариантной массы и энергии покоя

Исторически принцип эквивалентности массы и энергии был впервые сформулирован в своей окончательной форме при построении специальной теории относительности Альбертом Эйнштейном. Им было показано, что для свободно движущейся частицы, а также свободного тела и вообще любой замкнутой системы частиц, выполняются следующие соотношения^[12]:

${\displaystyle \ E^{2}-{\vec {p}}^{\,2}c^{2}=m^{2}c^{4}\qquad {\vec {p}}={\frac {E{\vec {v}}}{c^{2}}}}$,

(1.1)

где ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle {\vec {p}}}$, ${\displaystyle {\vec {v}}}$, ${\displaystyle m}$ — энергия, импульс, скорость и инвариантная масса системы или частицы, соответственно, ${\displaystyle c}$ — скорость света в вакууме. Из этих выражений видно, что в релятивистской механике, даже когда в нуль обращаются скорость и импульс тела (массивного объекта), его энергия в нуль не обращается^[13], оставаясь равной некоторой величине, определяемой массой тела:

${\displaystyle E_{0}=mc^{2}}$.

(1.2)

Эта величина носит название энергии покоя,^[14] и данное выражение устанавливает эквивалентность массы тела этой энергии. На основании этого факта Эйнштейном был сделан вывод, что масса тела является одной из форм энергии^[3] и что тем самым законы сохранения массы и энергии объединены в один закон сохранения^[15].

Энергия и импульс тела являются компонентами 4-вектора энергии-импульса (четырёхимпульса)^[16] (энергия — временной, импульс — пространственными) и соответствующим образом преобразуются при переходе из одной системы отсчёта в другую, а масса тела является лоренц-инвариантом, оставаясь при переходе в другие системы отсчёта постоянной, и имея смысл модуля вектора четырёхимпульса.

Следует также отметить, что несмотря на то, что энергия и импульс частиц аддитивны^[17], то есть для системы частиц имеем:

${\displaystyle \ E=\sum _{i}E_{i}\qquad {\vec {p}}=\sum _{i}{\vec {p}}_{i}}$

(1.3)

масса частиц аддитивной не является,^[12] то есть масса системы частиц, в общем случае, не равна сумме масс составляющих её частиц.

Таким образом, энергия (неинвариантная, аддитивная, временная компонента четырёхимпульса) и масса (инвариантный, неаддитивный модуль четырёхимпульса) — это две разные физические величины.^[7]

Эквивалентность инвариантной массы и энергии покоя означает, что в сопутствующей системе отсчёта, в которой свободное тело покоится, его энергия (с точностью до множителя ${\displaystyle c^{2}}$) равна его инвариантной массе^[7][18].

Четырёхимпульс равен произведению инвариантной массы на четырёхскорость тела.

${\displaystyle p^{\mu }=m\,U^{\mu }\!}$,

(1.4)

Это соотношение следует считать аналогом в специальной теории относительности классического определения импульса через массу и скорость.

Понятие релятивистской массы

После того, как Эйнштейн предложил принцип эквивалентности массы и энергии, стало очевидно, что понятие массы может интерпретироваться двояко. С одной стороны, это инвариантная масса, которая — именно в силу инвариантности — совпадает с той массой, что фигурирует в классической физике, с другой — можно ввести так называемую релятивистскую массу, эквивалентную полной (включая кинетическую) энергии физического объекта^[4]:

${\displaystyle m_{\mathrm {rel} }={\frac {E}{c^{2}}},}$

где ${\displaystyle m_{\mathrm {rel} }}$ — релятивистская масса, ${\displaystyle E}$ — полная энергия объекта.

Для массивного объекта (тела) эти две массы связаны между собой соотношением:

${\displaystyle m_{\mathrm {rel} }={\frac {m}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},}$

где ${\displaystyle m}$ — инвариантная («классическая») масса, ${\displaystyle v}$ — скорость тела.

Соответственно,

${\displaystyle E=m_{\mathrm {rel} }{c^{2}}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.}$

Энергия и релятивистская масса — это одна и та же физическая величина (неинвариантная, аддитивная, временная компонента четырёхимпульса).^[7]

Эквивалентность релятивистской массы и энергии означает, что во всех системах отсчёта энергия физического объекта (с точностью до множителя ${\displaystyle c^{2}}$) равна его релятивистской массе^[7][19].

Введённая таким образом релятивистская масса является коэффициентом пропорциональности между трёхмерным («классическим») импульсом и скоростью тела^[4]:

${\displaystyle {\vec {p}}=m_{\mathrm {rel} }{\vec {v}}.}$

Аналогичное соотношение выполняется в классической физике для инвариантной массы, что также приводится как аргумент в пользу введения понятия релятивистской массы. Это в дальнейшем привело к тезису, что масса тела зависит от скорости его движения^[20].

В процессе создания теории относительности обсуждались понятия продольной и поперечной массы массивной частицы (тела). Пусть сила, действующая на тело, равна скорости изменения релятивистского импульса. Тогда связь силы ${\displaystyle {\vec {F}}}$ и ускорения ${\displaystyle {\vec {a}}=d{\vec {v}}/dt}$ существенно изменяется по сравнению с классической механикой:

F →<!-- → --> = d p →<!-- → --> d t =