Фонон

Фонон
Нормальные моды колебаний в кристалле. Амплитуда колебаний была увеличена для удобства просмотра; в реальном кристалле, она обычно существенно меньше межатомного расстояния.
Состав:	Квазичастица
Классификация:	Фононы в одномерном кристалле с одним атомом в элементарной ячейке, Акустические фононы, Оптические фононы, Тепловые фононы
Семья:	Бозон[1]
Группа:	Квант (колебательного движения атомов кристалла)
Теоретически обоснована:	Игорь Тамм в 1932 году
Кол-во типов:	4
Спин:	0 ħ

Фоно́н — квазичастица, введённая советским учёным Игорем Таммом. Фонон представляет собой квант колебательного движения атомов кристалла.

Необходимость использования квазичастиц

Концепция фонона оказалась очень плодотворной в физике твёрдого тела. В кристаллических материалах атомы активно взаимодействуют между собой, и рассматривать в них такие термодинамические явления, как колебания отдельных атомов, затруднительно — получаются огромные системы из триллионов связанных между собой линейных дифференциальных уравнений, аналитическое решение которых невозможно. Колебания атомов кристалла заменяются распространением в веществе системы звуковых волн, квантами которых и являются фононы. Фонон принадлежит к числу бозонов^[1] и описывается статистикой Бозе–Эйнштейна. Спин фонона принимает значение 0 (в единицах ${\displaystyle \hbar }$). Фононы и их взаимодействие с электронами играют фундаментальную роль в современных представлениях о физике сверхпроводников, процессах теплопроводности, процессах рассеяния в твердых телах. Модель кристалла металла можно представить как совокупность гармонически взаимодействующих осцилляторов, причём наибольший вклад в их среднюю энергию дают колебания низких частот, соответствующие упругим волнам, квантами которых и являются фононы.

Фононы в одномерном кристалле с одним атомом в элементарной ячейке

В простейшем случае одномерного кристалла, состоящего из одинаковых атомов массы ${\displaystyle m\ }$, равновесные положения которых определяются вектором решётки:

${\displaystyle \mathbf {n} =n\mathbf {a} ,\ }$

где ${\displaystyle n=1,2,...,N\ }$. Предположим, что поперечные и продольные смещения атомов независимы. Пусть ${\displaystyle \xi _{n}\ }$ — одно из таких смещений атома, занимающего узел ${\displaystyle n\ }$. В потенциальной энергии ${\displaystyle U\ }$ смещений нейтральных атомов из положений равновесия можно учитывать только взаимодействия соседних атомов. Тогда потенциальная энергия будет:

${\displaystyle U={\frac {1}{2}}\gamma \sum _{n=1}^{N}(\xi _{n}-\xi _{n-1})^{2}\ }$

Кинетическая энергия выражается через скорости смещений ${\displaystyle {\dot {\xi _{n}}}\ }$ с помощью функции:

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}m\sum _{n=1}^{N}{\dot {\xi _{n}}}^{2}\ }$.

Введём циклические условия:

${\displaystyle \xi _{n}=\xi _{n+Na}\ }$.

Одномерной решётке соответствует зона Бриллюэна в ${\displaystyle \mathbf {k} \ }$- пространстве с границами:

${\displaystyle -\pi \leq \mathbf {k} a<\pi \ }$.

Внутри этой зоны располагаются ${\displaystyle N\ }$ неэквивалентных волновых векторов:

${\displaystyle \mathbf {k} ={\frac {2\pi \mu }{Na^{2}}}\mathbf {a} ,\ }$

где ${\displaystyle \mu =0,\pm 1,\pm 2,...,\pm {\frac {N}{2}}\ }$. От смещений отдельных атомов ${\displaystyle \xi _{n}\ }$ удобно перейти к новым обобщённым координатам ${\displaystyle A_{k}\ }$, которые характеризуют коллективные движения атомов, соответствующие определённым значениям ${\displaystyle \mathbf {k} \ }$. Для этого введём преобразование:

${\displaystyle \xi _{n}=N^{-1/2}\sum _{k=1}A_{k}\exp(i\mathbf {k} \mathbf {n} ).\ }$

Новые переменные должны удовлетворять условию:

${\displaystyle A_{k}=A_{-k}^{*}\ }$.

Таким образом, потенциальная

${\displaystyle U={\frac {1}{2}}m\sum _{k=1}\Omega ^{2}(\mathbf {k} )A_{k}A_{-k}\ }$

и кинетическая энергия

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}m\sum _{k=1}{\dot {A_{k}}}{\dot {A_{-k}}}\ }$,

где

${\displaystyle m\Omega ^{2}(\mathbf {k} )=m\Omega ^{2}(\mathbf {-k} )=4\gamma \sin ^{2}{\frac {\mathbf {k} \mathbf {a} }{2}}\ }$

выражаются через новые коллективные переменные и их временные производные. Нас в дальнейшем будет интересовать частота фононных колебаний в виде:

${\displaystyle \Omega (\mathbf {k} )=\Omega (\mathbf {-k} )=2{\sqrt {\frac {\gamma }{m}}}|\sin {\frac {\mathbf {k} \mathbf {a} }{2}}|\ }$

Зная частоту фононов как функцию ${\displaystyle \mathbf {k} \ }$, можно вычислить фазовую ${\displaystyle V_{f}\ }$ и групповую ${\displaystyle V_{g}\ }$ скорости соответствующих элементарных возбуждений:

${\displaystyle V_{f}={\frac {\Omega (\mathbf {k} )}{k}}={\frac {2}{k}}{\sqrt {\frac {\gamma }{m}}}|\sin {\frac {\mathbf {k} \mathbf {a} }{2}}|\ }$

${\displaystyle V_{g}={\frac {d\Omega (\mathbf {k} )}{dk}}=a{\sqrt {\frac {\gamma }{m}}}|\cos {\frac {\mathbf {k} \mathbf {a} }{2}}|\ }$

Акустические фононы

Длинноволновые возбуждения при ${\displaystyle ka={\frac {2\pi a}{\lambda }}\ll 1\ }$ характеризуются величинами:

${\displaystyle \Omega (\mathbf {k} )=ka{\sqrt {\frac {\gamma }{m}}}=kV_{f}\ }$

${\displaystyle V_{f}=V_{g}=a{\sqrt {\frac {\gamma }{m}}}\ }$.

Эти возбуждения можно рассматривать как упругие волны в среде. Скорость упругих волн (скорость звука) определяется в механике выражением:

${\displaystyle V_{ac}={\sqrt {\frac {E}{\rho _{1D}}}}\ }$,

где ${\displaystyle E\ }$ — модуль Юнга, а ${\displaystyle \rho _{1D}={\frac {m}{a}}}$ — одномерная плотность среды. Модуль Юнга определяет отношение силы ${\displaystyle \gamma (\xi _{n}-\xi _{n-1})\ }$ к вызванной ею относительной деформации ${\displaystyle (\xi _{n}-\xi _{n-1})/a\ }$. Он равен

${\displaystyle E=a\gamma \ }$.

Таким образом, акустическая скорость равна величине:

${\displaystyle V_{ac}=a{\sqrt {\frac {\gamma }{m}}}\ }$.

Следовательно, рассматриваемые в пределе ${\displaystyle ka\ll 1\ }$ возбуждения совпадают с акустическими волнами в упругой среде. Поэтому эти возбуждения называются акустическими фононами.

Тепловые фононы

Тепловая энергия тела равна сумме энергий фононов (тепловых). Распределение фононов (тепловых) по состояниям при тепловом возбуждении в гармоническом приближении подчиняются статистике Больцмана^[2].

Оптические фононы

Когда волновой вектор приближается к границе зоны Бриллюэна (${\displaystyle ka\to \pi \ }$ или ${\displaystyle \lambda \to 2a\ }$), то фазовая скорость будет равна величине:

${\displaystyle V_{f}\to {\frac {2a}{\pi }}{\sqrt {\frac {\gamma }{m}}}\ }$,

а групповая скорость стремится к нулю. Эти элементарные возбуждения в твёрдом теле можно назвать оптическими фононами.

Акустические и оптические фононы

Этот раздел слишком короткий. Пожалуйста, улучшите и дополните его. Замечания о том, что нужно улучшить, могут быть на странице обсуждения статьи.

Акустические фононы

Акустический фонон характеризуется при малых волновых векторах линейным законом дисперсии и параллельным смещением всех атомов в элементарной ячейке. Такой закон дисперсии описывает звуковые колебания решетки (поэтому фонон и называется акустическим). Для трехмерного кристалла общей симметрии существует три ветви акустических фононов. Для кристаллов высокой симметрии эти три ветви можно разделить на две ветви поперечных волн различной поляризации и продольную волну. В центре зоны Бриллюэна (для длинноволновых колебаний) законы дисперсии для акустических фононов линейны.

${\displaystyle \omega _{i}=s_{i}k}$,

где ω — частота колебаний, k — волновой вектор, а коэффициенты S_i — скорости распространения акустических волн в кристалле, то есть скорости звука .

Оптические фононы

Оптические фононы существуют только в кристаллах, элементарная ячейка которых содержит два и более атомов. Эти фононы характеризуются при малых волновых векторах такими колебаниями атомов, при которых центр тяжести элементарной ячейки остается неподвижным. Энергия оптических фононов обычно достаточно велика (порядка 500 см⁻¹) и слабо зависит от волнового вектора.

Наряду с электронами, акустические и оптические фононы дают вклад в теплоёмкость кристалла. Для акустических фононов при низких температурах этот вклад, согласно модели Дебая, кубически зависит от температуры.

Примечания

См. также

• Звук

Литература

• Соловьев В. Г. Теория атомного ядра: Квазичастицы и фононы. — М.: Энергоатомиздат, 1989. — 304 с. — ISBN 5-283-03914-5.
• Давыдов А. С. Теория твердого тела. — М.: Наука, 1976. — 636 с.
• Feynman, Richard P. Statistical Mechanics, A Set of Lectures (неопр.). — Reading, Massachusetts: The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc., 1972. — С. 366. — ISBN Clothbound: 0-8053-2508-5, Paperbound: 0-8053-2509-3.
• Каганов М. И. «Квазичастица». Что это такое?. — М.: Знание, 1971. — 75 с. — 12 500 экз.
• Фейнман Р. Статистическая механика. — Мир, 1975. — 407 с.