Туннельный эффект

Квантовая механика

${\displaystyle \Delta x\cdot \Delta p_{x}\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}$ Принцип неопределённости

Введение Математические основы

Основа Классическая механика · Постоянная Планка · Интерференция · Бра и кет · Гамильтониан · Старая квантовая теория

Фундаментальные понятия Квантовое состояние · Квантовая наблюдаемая · Волновая функция · Квантовая суперпозиция · Квантовая запутанность · Смешанное состояние · Измерение · Неопределённость · Принцип Паули · Дуализм · Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннельный эффект

Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга · Эксперимент квантового ластика · Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона

Формулировки Представление Шрёдингера · Представление Гейзенберга · Представление взаимодействия · Представление фазового пространства · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям · Диаграммы Фейнмана

Уравнения Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака · Уравнение Швингера — Томонаги · Уравнение фон Неймана · Уравнение Блоха · Уравнение Линдблада · Уравнение Гейзенберга

Интерпретации Копенгагенская · Теория скрытых параметров · Многомировая · Теория де Бройля — Бома

Развитие теории Квантовая теория поля · Квантовая электродинамика · Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама · Квантовая хромодинамика · Стандартная модель · Квантовая гравитация

Сложные темы Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего

Известные учёные Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт

См. также: Портал:Физика

Тунне́льный эффект, туннели́рование — преодоление микрочастицей потенциального барьера в случае, когда её полная энергия (остающаяся при туннелировании неизменной) меньше высоты барьера. Туннельный эффект — явление исключительно квантовой природы, невозможное в классической механике и даже полностью противоречащее ей. Аналогом туннельного эффекта в волновой оптике может служить проникновение световой волны внутрь отражающей среды (на расстояния порядка длины световой волны) в условиях, когда, с точки зрения геометрической оптики, происходит полное внутреннее отражение. Явление туннелирования лежит в основе многих важных процессов в атомной и молекулярной физике, в физике атомного ядра, твёрдого тела и т. д.

Краткое квантовомеханическое описание

Отражение и туннелирование электронного пучка, направленного на потенциальный барьер. Тусклое пятно справа от барьера — электроны, прошедшие сквозь барьер. Обратите внимание на интерференцию между падающими и отражающимися волнами.

Согласно классической механике, частица может находиться лишь в тех точках пространства, в которых её потенциальная энергия — ${\displaystyle {U_{\rm {pot}}}}$ — меньше полной. Это следует из того обстоятельства, что кинетическая энергия частицы

${\displaystyle {E_{k}}={\frac {p^{2}}{2m}}={E}-{U_{\rm {pot}}}}$

не может (в классической физике) быть отрицательной, так как в таком случае импульс будет мнимой величиной. То есть, если две области пространства разделены потенциальным барьером, таким, что ${\displaystyle {U_{\rm {pot}}}>{E}}$, просачивание частицы сквозь него в рамках классической теории оказывается невозможным.

В квантовой же механике мнимое значение импульса частицы соответствует экспоненциальной зависимости волновой функции от её координаты. Это показывает уравнение Шрёдингера с постоянным потенциалом (упрощенное уравнение Шрёдингера в одномерном случае):

${\displaystyle {\frac {{{\rm {d}}^{2}}{\psi }}{{{\rm {d}}{x}}^{2}}}+{\frac {2m}{{\hbar }^{2}}}{\left({E}-{U_{\rm {pot}}}\right)}{\psi }=0,}$

где ${\displaystyle x~-}$ координата; ${\displaystyle E~-}$ полная энергия, ${\displaystyle U_{\rm {pot}}~-}$ потенциальная энергия, ${\displaystyle {\hbar ~-}}$ редуцированная постоянная Планка, ${\displaystyle m~-}$ масса частицы).

Если ${\displaystyle E>{U_{\rm {pot}}}}$, то решением этого уравнения является функция:

${\displaystyle {\psi }=A\exp {\left(ix{\frac {\sqrt {2m{\left({E}-{U_{\rm {pot}}}\right)}}}{\hbar }}\right)+B\exp \left(-ix{\frac {\sqrt {2m{\left({E}-{U_{\rm {pot}}}\right)}}}{\hbar }}\right)}.}$

Пусть имеется движущаяся частица, на пути которой встречается потенциальный барьер высотой ${\displaystyle U_{0}>>E}$, а потенциал частицы до и после барьера ${\displaystyle U_{f}<E}$. Пусть также начало барьера совпадает с началом координат, а его «ширина» равна ${\displaystyle a}$.

Для областей ${\displaystyle I}$ (до прохождения), ${\displaystyle II}$ (во время прохождения внутри потенциального барьера) и ${\displaystyle III}$ (после прохождения барьера) получаются соответственно функции:

${\displaystyle {{\psi }_{I}}={A_{1}}\exp {\left(ikx\right)}+{B_{1}}\exp {\left(-ikx\right)},}$

${\displaystyle {{\psi }_{II}}={A_{2}}\exp {\left(-{\chi }x\right)}+{B_{2}}\exp {\left({\chi }x\right)},}$

${\displaystyle {{\psi }_{III}}={A_{3}}\exp {\left(ik(x-a)\right)}+{B_{3}}\exp {\left(-ik(x-a)\right)},}$

где ${\displaystyle k={\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\left({E}-{U_{f}}\right)}}}}$, ${\displaystyle \chi ={\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\left({U_{0}-E}\right)}}}}$.

Так как слагаемое ${\displaystyle {B_{3}}\exp {\left(-ik(x-a)\right)}}$ описывает отраженную волну, идущую из бесконечности, которая в данном случае отсутствует, нужно положить ${\displaystyle {B_{3}}=0}$. Для характеристики величины туннельного эффекта вводится коэффициент прозрачности барьера, равный модулю отношения плотности потока прошедших частиц к плотности потока упавших:

${\displaystyle D={\frac {j_{III}}{j_{I}}}.}$

Для определения потока частиц используется следующая формула:

${\displaystyle {j}={\frac {i{\hbar }}{2m}}{\left({\frac {{\partial }{{\psi }^{*}}}{{\partial }x}}{\psi }-{\frac {{\partial }{\psi }}{{\partial }x}}{{\psi }^{*}}\right)},}$

где знак * обозначает комплексное сопряжение.

Подставляя в эту формулу волновые функции, указанные выше, получим:

${\displaystyle {D}={\frac {|{A_{3}}|^{2}}{|{A_{1}}|^{2}}}.}$

Теперь, воспользовавшись граничными условиями, выразим сначала ${\displaystyle A_{2}}$ и ${\displaystyle B_{2}}$ через ${\displaystyle A_{3}}$ (с учётом, что ${\displaystyle {\chi }a~{\gg }~1}$):

${\displaystyle {A_{2}}={\frac {1-in}{2}}{A_{3}}{\exp {\left({\chi }a\right)}}~,~~~~~~{B_{2}}={\frac {1+in}{2}}{A_{3}}{\exp {\left(-{\chi }a\right)}}~{\approx }~0,}$

${\displaystyle n={\frac {k}{\chi }}={\sqrt {\frac {E-U_{f}}{{U_{0}}-E}}},}$

а затем ${\displaystyle A_{1}}$ через ${\displaystyle A_{3}}$:

${\displaystyle {A_{1}}={i{\frac {\left(1-in\right)^{2}}{4n}}}{\exp {\left({\chi }a\right)}}{A_{3}}.}$

Введём величину:

${\displaystyle {D_{0}}={\frac {16{n^{2}}}{{\left(1+{n^{2}}\right)}^{2}}}=16{\frac {(U_{0}-E)(E-U_{f})}{(U_{0}-U_{f})^{2}}}}$

которая будет порядка единицы. Тогда:

${\displaystyle D~{\cong }~{D_{0}}{\exp {\left(-{\frac {2a{\sqrt {2m{\left({U_{0}}-E\right)}}}}{\hbar }}\right)}}.}$

Для потенциального барьера произвольной формы делаем замену:

${\displaystyle {\frac {2a{\sqrt {2m{\left({U_{0}}-E\right)}}}}{\hbar }}~{\Rrightarrow }~{\frac {2}{\hbar }}{\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m{\left({U(x)}-E\right)}}}\,{\rm {d}}x},}$

где ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ находятся из условия:

${\displaystyle {U(x_{1})}={U(x_{2})}=E.}$

Тогда для коэффициента прохождения через барьер получаем выражение:

${\displaystyle D~{\cong }~{D_{0}}{\exp {\left(-{\frac {2}{\hbar }}{\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m{\left({U(x)}-E\right)}}}\,{\rm {d}}x}\right)}}.}$

Коэффициент прозрачности потенциального барьера

Коэффициентом прозрачности потенциального барьера называется отношение плотности потока прошедших сквозь барьер частиц к плотности потока падающих на барьер частиц. Для барьера произвольной формы он приближенно равен:

${\displaystyle D~{\cong }~C{\exp {\left(-{\frac {2}{\hbar }}{\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m{\left({U(x)}-E\right)}}}\,{\rm {d}}x}\right)}},}$

где ${\displaystyle C}$ — коэффициент порядка 1, ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ — координаты точек, для которых ${\displaystyle U(x)=E}$, ${\displaystyle x_{2}-x_{1}}$ — ширина барьера для частицы с энергией ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle U_{max}-E}$ — высота барьера^[1].

Упрощённое объяснение

Туннельный эффект можно объяснить соотношением неопределённостей.^[2] Записанное в виде:

${\displaystyle \Delta x\Delta p\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}$,

оно показывает, что при ограничении квантовой частицы по координате, то есть увеличении её определённости по x, её импульс p становится менее определённым. Случайным образом неопределённость импульса ${\displaystyle \Delta p}$ может добавить частице энергии для преодоления барьера. Таким образом, с некоторой вероятностью квантовая частица может проникнуть через барьер, — эта вероятность тем больше, чем меньше масса частицы, чем у́же потенциальный барьер и чем меньше энергии недостаёт частице, чтобы достичь высоты барьера, — средняя энергия проникшей частицы при этом останется неизменной.

Из формулы для коэффициента прохождения через барьер следует, что частицы проходят через потенциальный барьер заметным образом лишь при его толщине ${\displaystyle l}$, определяемую приближённым равенством ${\displaystyle {\frac {2}{\hbar }}{\sqrt {2m{\left(U_{m}-E\right)}}}l\approx 1}$. Здесь ${\displaystyle U_{m}}$ — максимальная высота барьера. Для обнаружения частицы внутри потенциального барьера мы должны измерить её координату с точностью, не превышающей глубину её проникновения ${\displaystyle \Delta x<l}$. Из принципа неопределённости следует, что в этом случае импульс частицы приобретает дисперсию ${\displaystyle {\bar {\Delta p^{2}}}>{\frac {\hbar ^{2}}{4{\bar {\Delta x^{2}}}}}={\frac {\hbar ^{2}}{4l^{2}}}}$. Величину ${\displaystyle l}$ можно найти из формулы ${\displaystyle {\frac {2}{\hbar }}{\sqrt {2m{\left(U_{m}-E\right)}}}l\approx 1}$, в результате получаем ${\displaystyle {\frac {\bar {\Delta p^{2}}}{2m}}>U_{m}-E}$.

Таким образом, кинетическая энергия частицы при прохождении через барьер увеличивается на величину, требуемую для прохождения барьера в результате появления неопределённости её импульса, определяемой принципом неопределённости в результате неопределённости измерения её координаты^[3].

Макроскопические проявления туннельного эффекта

Туннельный эффект имеет ряд проявлений в макроскопических системах:

• Туннелирование носителей зарядов через потенциальный барьер p-n перехода, получившее практическое применение в туннельном диоде.
• Туннелирование носителей зарядов через тонкую оксидную плёнку, имеющую диэлектрические свойства, покрывающую ряд металлов (в частности, алюминия) и обеспечивающее проводимость точек механического соединения проводников (скрутки проводов, зажимы, джамперы). Применительно к сверхпроводникам это явление получило название эффект Джозефсона.
• Автоэлектронная эмиссия — туннелирование электронов сквозь потенциальный барьер из твёрдого тела в вакуум при большой напряжённости электрического поля у его поверхности.

Туннельный диод

Туннельный диод и джампер.

Диоды — это электрические нелинейные полупроводниковые устройства, которые позволяют току течь при прямом смещении с меньшим сопротивлением чем при обратном смещении. Устройство диода зависит от обедненного слоя между полупроводниками N-типа и P-типа. Когда две области очень сильно легированы противоположными по знаку примесями, то слой между ними может оказаться достаточно тонким для туннелирования. При приложении небольшого прямого смещения, ток из-за туннельного эффекта быстро возрастает. Это явление имеет максимум в точке, где смещение напряжения таково, что уровень энергии валентной зоны для p-области и зоны проводимости для n-обрасти одинаков. В данном случае говорят о межзонном туннелировании. Когда напряжение смещения увеличивается, две зоны больше не выровнены по энергии и диод работает в обычном режиме^[4].

Поскольку туннельный ток быстро спадает, то можно создать туннельные диоды с диапазоном напряжений, когда ток уменьшается с увеличением напряжения — область отрицательного дифференциального сопротивления. Это свойство используется в некоторых приложениях, например, в высокочастотных устройствах, где характерная вероятность туннелирования изменяется с той же частотой, что напряжение смещения^[4].

Резонансный туннельный диод использует квантовое туннелирование совершенно другим способом для достижения аналогичного результата. Этот диод обладает резонансным напряжением, которому соответствует большой ток, что достигается в структуре с двумя размещёнными очень близко друг к другу тонких слоев барьерами (с зоной проводимости при высокой энергии). Это создает квантовую потенциальную яму для носителей тока, которая имеет дискретный самый низкий квазистационарный энергетический уровень. Когда этот уровень энергии в яме выше, чем у электронов в контактах, то туннелирование отсутствует, и диод находится при обратном смещении. Как только две энергии совпадают при определённом напряжении, электроны текут как по проводнику. По мере увеличения напряжения дальнейшее туннелирование становится всё менее вероятным, и диод снова действует как обычный диод, прежде чем достигнет второго уровня энергии^[5].

История и исследователи

Открытию туннельного эффекта предшествовало открытие А. Беккерелем в 1896 году радиоактивного распада, изучение которого продолжили супруги Мария и Пьер Кюри, в 1903 году получившие за свои исследования Нобелевскую премию^[6]. На основе их исследований в следующее десятилетие была сформулирована теория радиоактивного полураспада, вскоре подтверждённая экспериментально.

В то же время, в 1901 году, молодой учёный Роберт Френсис Эрхарт (Robert Francis Earhart), исследовавший с помощью интерферометра поведение газов между электродами в различных режимах, неожиданно получил необъяснимые данные. Ознакомившись с результатами экспериментов, известный учёный Д. Томсон предположил, что здесь действует ещё не описанный закон и призвал учёных к дальнейшим исследованиям. В 1911 и в 1914 годах один из его аспирантов, Франц Розер (Franz Rother), повторил опыт Эрхарта, используя для измерений вместо интерферометра более чуткий гальванометр, и определённо зафиксировал возникающее между электродами необъяснимое стационарное поле электронной эмиссии. В 1926 всё тот же Розер использовал в опыте новейший гальванометр с чувствительностью 26 pA и зафиксировал стационарное поле электронной эмиссии, возникающее между близко расположенными электродами даже в глубоком вакууме^[7].

В 1927 году немецкий физик Фридрих Хунд стал первым, кто математически выявил «туннельный эффект» при расчётах покоя двухъямного потенциала^[6]. В 1928 году независимо друг от друга формулы туннельного эффекта применили в своих работах русский учёный Георгий Гамов и американские учёные Рональд Гёрни^[en] и Эдвард Ко́ндон при разработке теории альфа-распада^{[8][9][10][11][12]}. Оба исследования одновременно решали уравнение Шрёдингера для модели ядерного потенциала и математически обосновывали связь между радиоактивным полураспадом частиц и их радиоактивным излучением вероятностью туннелирования.

Посетив семинар Гамова, немецкий учёный Макс Борн успешно развил его теорию, предположив, что «эффект туннелирования» не ограничивается сферой ядерной физики, а имеет гораздо более широкое действие, поскольку возникает по законам квантовой механики и, таким образом, применим для описания явлений во многих других системах^[13]. При автономной эмиссии из металла в вакуум, к примеру, по «закону Фаулера — Нордгейма», сформулированного в том же 1928 году.

В 1957 году изучение полупроводников, развитие транзисторных и диодных технологий, привели к открытию туннелирования электронов в механических частицах. В 1973 году американец Дэвид Джозефсон получил Нобелевскую премию по физике «За теоретическое предсказание свойств тока сверхпроводимости, проходящего через туннельный барьер», вместе с ним премии удостоились японец Лео Эсаки и норвежец Ивар Гиевер «За экспериментальные открытия туннельных явлений в полупроводниках и сверхпроводниках соответственно»^[13] В 2016 году было открыто и «квантовое туннелирование воды^[en]»^[14].

Примечания

Ссылки

• Туннельная эмиссия — статья из Большой советской энциклопедии. 
• Туннельный эффект // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

Литература

• Гольданский В. И., Трахтенберг Л. И., Флёров В. Н. Туннельные явления в химической физике. М.: Наука, 1986. — 296 с.
• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики, 4 изд., М., 1963.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 3-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1974. — 752 с. — («Теоретическая физика», том III).