Матричная квантовая механика

Ма́тричная меха́ника — математический формализм квантовой механики, разработанный Вернером Гейзенбергом, Максом Борном и Паскуалем Иорданом в 1925 году. Матричная механика была первой независимой и последовательной квантовой теорией. Она развивает идеи теории Бора, в частности отвечает на вопрос, как происходят квантовые переходы. Основная идея матричной механики заключается в том, что физические величины, характеризующие частицу, описываются матрицами, изменяющимися во времени. Такой подход вполне эквивалентен волновой механике Эрвина Шрёдингера и является основой для бра-кет формализма Дирака для волновой функции.

Математический аппарат

В матричной механике считается, что физическая система может находиться в одном из дискретного набора состояний n или в суперпозиции этих состояний, поэтому в целом состояние квантовомеханической системы задаётся вектором состояния — конечной или бесконечной совокупностью комплексных чисел

\phi =\left({\begin{matrix}c_{1}\\\vdots \\c_{i}\\\vdots \end{matrix}}\right)

,

а каждой физической величине A, которую можно наблюдать в эксперименте, соответствует определённая матрица

A=\left({\begin{matrix}a_{11}&\ldots &a_{1n}&\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&\ldots &a_{nn}&\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\end{matrix}}\right)

Реальным физическим величинам соответствуют самосопряжённые матрицы, для которых

a_{nm}=a_{mn}^{*}

.

Комплексные величины $c_{n}$ задают амплитуду вероятности того, что квантовомеханическая система находится в состоянии n. Диагональные элементы матрицы A соответствуют значениям физической величины, когда она находится в определённом состоянии, а недиагональные элементы описывают вероятность переходов системы из одного состояния в другое.

Особое место занимает матрица энергии H.

Уравнение движения

Матрица, которая описывает физическую величину, удовлетворяет уравнению движения

{\frac {dA}{dt}}={\frac {\partial A}{\partial t}}+{\frac {i}{\hbar }}[H,A]

,

где частная производная задаёт явную зависимость физической величины от времени, а квадратные скобки означают коммутатор матриц A и H. В этой формуле i — мнимая единица, $\hbar$ — приведённая постоянная Планка. Если матрица A известна в начальный момент времени, то, решая данное уравнение, можно определить её в любой момент времени.

Эквивалентность матричной механики и волновой механики

Как показал Джон фон Нейман, матричная механика полностью эквивалентна волновой механике Шрёдингера. Эквивалентность вытекает из того, что волновую функцию $\psi$ можно разложить в ряд, используя определённый ортонормированной базис функций $\varphi _{i}$ :

\psi =\sum _{n}c_{n}\varphi _{n}

.

Коэффициенты этого разложения $c_{n}$ задают вектор состояния.

Матрица, которая соответствует определённой физической величине A, задаётся матричными элементами оператора ${\hat {A}}$

A_{nm}=\int \varphi _{n}^{*}{\hat {A}}\varphi _{m}d\tau

.

Учитывая эквивалентность формулировок, в современной квантовой механике матричный подход используется на равных с описанием с помощью волновых функций.