График y=x², при целых значениях x на отрезке от 1 до 25
Квадра́т числа
— результат умножения числа на себя:
. Обозначение:
.
Вычисление
— математическая операция, называемая возведе́нием в квадра́т. Эта операция представляет собой частный случай возведения в степень, а именно — возведение числа
в степень 2.
Далее приведено начало числовой последовательности для квадратов целых неотрицательных чисел (последовательность A000290 в OEIS):
- 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, …
Исторически натуральные числа из этой последовательности называли «квадратными».
Способы представления
Квадрат натурального числа
можно представить в виде суммы первых
нечетных чисел:
- 1:

- 2:

- …
- 7:

- …
Ещё один способ представления квадрата натурального числа:

Пример:
- 1:

- 2:

- …
- 4:

- …
Сумма квадратов первых
натуральных чисел вычисляется по формуле:
Вывод
Способ 1, метод приведения:
- Рассмотрим сумму кубов натуральных чисел от 1 до
:

- Получим:

- Умножим на 2 и перегруппируем:

(В рассуждениях использована формула:
, вывод которой аналогичен приведенному)
Способ 2, метод неизвестных коэффициентов:
- Заметим, что сумма функций степени
может быть выражена как функция
степени. Исходя из этого факта предположим:


- Получим систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов:

- Решив её, получим

- Таким образом:

Квадрат комплексного числа
Квадрат комплексного числа в алгебраической форме можно вычислить по формуле:

Аналогичная формула для комплексного числа в тригонометрической форме:

Геометрический смысл
Квадрат числа равен площади квадрата со стороной, равной этому числу.
Литература
- Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. — Конкретная математика. Основание информатики. Пер. с англ. —М.: Мир, 1998. —703 с.
См. также