Волновая функция

Квантовая механика

${\displaystyle \Delta x\cdot \Delta p_{x}\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}$ Принцип неопределённости

Введение Математические основы

Основа Классическая механика · Постоянная Планка · Интерференция · Бра и кет · Гамильтониан · Старая квантовая теория

Фундаментальные понятия Квантовое состояние · Квантовая наблюдаемая · Волновая функция · Квантовая суперпозиция · Квантовая запутанность · Смешанное состояние · Измерение · Неопределённость · Принцип Паули · Дуализм · Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннельный эффект

Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга · Эксперимент квантового ластика · Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона

Формулировки Представление Шрёдингера · Представление Гейзенберга · Представление взаимодействия · Представление фазового пространства · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям · Диаграммы Фейнмана

Уравнения Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака · Уравнение Швингера — Томонаги · Уравнение фон Неймана · Уравнение Блоха · Уравнение Линдблада · Уравнение Гейзенберга

Интерпретации Копенгагенская · Теория скрытых параметров · Многомировая · Теория де Бройля — Бома

Развитие теории Квантовая теория поля · Квантовая электродинамика · Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама · Квантовая хромодинамика · Стандартная модель · Квантовая гравитация

Сложные темы Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего

Известные учёные Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт

См. также: Портал:Физика

Волнова́я фу́нкция, или пси-фу́нкция ${\displaystyle \psi }$ — комплекснозначная функция, используемая в квантовой механике для описания чистого состояния системы. Является коэффициентом разложения вектора состояния по базису (обычно координатному):

${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =\int \Psi (x,t)\left|x\right\rangle dx}$

где ${\displaystyle \left|x\right\rangle =\left|x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right\rangle }$ — координатный базисный вектор, а ${\displaystyle \Psi (x,t)=\langle x\left|\psi (t)\right\rangle }$ — волновая функция в координатном представлении.

Согласно копенгагенской интерпретации квантовой механики плотность вероятности нахождения частицы в данной точке конфигурационного пространства в данный момент времени считается равной квадрату абсолютного значения волновой функции этого состояния в координатном представлении.

Физический смысл

В координатном представлении волновая функция ${\displaystyle \Psi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},t)}$ зависит от координат (или обобщённых координат) системы. Сама волновая функция физического смысла не имеет, но физический смысл приписывается квадрату её модуля ${\displaystyle \left|\Psi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},t)\right|^{2}}$, который интерпретируется как плотность вероятности ${\displaystyle \omega }$ (для дискретных спектров — просто вероятность) обнаружить систему в положении, описываемом координатами ${\displaystyle x_{1}=x_{01},x_{2}=x_{02},\ldots ,x_{n}=x_{0n}}$ в момент времени ${\displaystyle t}$:

${\displaystyle \omega ={\frac {dP}{dV}}=\left|\Psi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},t)\right|^{2}=\Psi ^{\ast }\Psi }$.

Тогда в заданном квантовом состоянии системы, описываемом волновой функцией ${\displaystyle \Psi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},t)}$, можно рассчитать вероятность ${\displaystyle P}$ того, что частица будет обнаружена в любой области конфигурационного пространства конечного объёма ${\displaystyle V}$: ${\displaystyle P={\int {dP}}={\int \limits _{V}{\omega }dV}={\int \limits _{V}{\Psi ^{\ast }\Psi }dV}}$     ${\displaystyle (1)}$.

Следует также отметить, что возможно измерение и разницы фаз волновой функции, например, в опыте Ааронова — Бома.

Нормированность волновой функции

Волновая функция ${\displaystyle \Psi }$ по своему смыслу должна удовлетворять так называемому условию нормировки, например, в координатном представлении имеющему вид:

${\displaystyle {\int \limits _{V}{\Psi ^{\ast }\Psi }dV}=1}$

Это условие выражает тот факт, что вероятность обнаружить частицу с данной волновой функцией где-либо в пространстве равна единице. В общем случае интегрирование должно производиться по всем переменным, от которых зависит волновая функция в данном представлении.

Принцип суперпозиции квантовых состояний

Для волновых функций справедлив принцип суперпозиции, заключающийся в том, что если система может пребывать в состояниях, описываемых волновыми функциями ${\displaystyle \Psi _{1}}$ и ${\displaystyle \Psi _{2}}$, то она может пребывать и в состоянии, описываемом волновой функцией

${\displaystyle \Psi _{\Sigma }=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}}$ при любых комплексных ${\displaystyle c_{1}}$ и ${\displaystyle c_{2}}$.

Очевидно, что можно говорить и о суперпозиции (сложении) любого числа квантовых состояний, то есть о существовании квантового состояния системы, которое описывается волновой функцией ${\displaystyle \Psi _{\Sigma }=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+\ldots +{c}_{N}{\Psi }_{N}=\sum _{n=1}^{N}{c}_{n}{\Psi }_{n}}$.

В таком состоянии квадрат модуля коэффициента ${\displaystyle {c}_{n}}$ определяет вероятность того, что при измерении система будет обнаружена в состоянии, описываемом волновой функцией ${\displaystyle {\Psi }_{n}}$.

Поэтому для нормированных волновых функций ${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\left|c_{n}\right|^{2}=1}$.

Условия регулярности волновой функции

Вероятностный смысл волновой функции накладывает определённые ограничения, или условия, на волновые функции в задачах квантовой механики. Эти стандартные условия часто называют условиями регулярности волновой функции.

1. Условие конечности волновой функции. Волновая функция не может принимать бесконечных значений, таких, что интеграл ${\displaystyle (1)}$ станет расходящимся. Следовательно, это условие требует, чтобы волновая функция была квадратично интегрируемой функцией, т.е принадлежала гильбертовому пространству ${\displaystyle L^{2}}$. В частности, в задачах с нормированной волновой функцией квадрат модуля волновой функции должен стремиться к нулю на бесконечности.
2. Условие однозначности волновой функции. Волновая функция должна быть однозначной функцией координат и времени, так как плотность вероятности обнаружения частицы должна определяться в каждой задаче однозначно. В задачах с использованием цилиндрической или сферической системы координат условие однозначности приводит к периодичности волновых функций по угловым переменным.
3. Условие непрерывности волновой функции. В любой момент времени волновая функция должна быть непрерывной функцией пространственных координат. Кроме того, непрерывными должны быть также частные производные волновой функции ${\displaystyle {\frac {\partial \Psi }{\partial x}}}$, ${\displaystyle {\frac {\partial \Psi }{\partial y}}}$, ${\displaystyle {\frac {\partial \Psi }{\partial z}}}$. Эти частные производные функций лишь в редких случаях задач с идеализированными силовыми полями могут терпеть разрыв в тех точках пространства, где потенциальная энергия, описывающая силовое поле, в котором движется частица, испытывает разрыв второго рода.

Волновая функция в различных представлениях

Набор координат, которые выступают в роли аргументов функции, представляет собой полную систему коммутирующих наблюдаемых. В квантовой механике возможно выбрать несколько полных наборов наблюдаемых, поэтому волновая функция одного и того же состояния может быть записана от разных аргументов. Выбранный для записи волновой функции полный набор величин определяет представление волновой функции. Так, возможны координатное представление, импульсное представление, в квантовой теории поля используется вторичное квантование и представление чисел заполнения или представление Фока и др.

Если волновая функция, например, электрона в атоме, задана в координатном представлении, то квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности обнаружить электрон в той или иной точке пространства. Если эта же волновая функция задана в импульсном представлении, то квадрат её модуля представляет собой плотность вероятности обнаружить тот или иной импульс.

Матричная и векторная формулировки

Волновая функция одного и того же состояния в различных представлениях — будет соответствовать выражению одного и того же вектора в разных системах координат. Остальные операции с волновыми функциями так же будут иметь аналоги на языке векторов. В волновой механике используется представление, где аргументами пси-функции является полная система непрерывных коммутирующих наблюдаемых, а в матричной используется представление, где аргументами пси-функции является полная система дискретных коммутирующих наблюдаемых. Поэтому функциональная (волновая) и матричная формулировки очевидно математически эквивалентны.

Описание смешанных квантовых состояний

Волновая функция представляет собой метод описания чистого состояния квантовомеханической системы. Смешанные квантовые состояния (в квантовой статистике) следует описывать при помощи матрицы плотности.

См. также

• Собственное состояние
• Оператор (физика)
• Уравнение Шрёдингера
• Принцип неопределённости Гейзенберга
• Блоховская волна
• Редукция волновой функции
• Функция Вигнера

Литература

• Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов и др. — М.: Сов. Энциклопедия, 1984. — 944 с.
• Yong-Ki Kim. Practical Atomic Physics (неопр.) // National Institute of Standards and Technology. — 2000. — 2 September. — С. 1 (55 pages). Архивировано 22 июля 2011 года.
• Polkinghorne, John (англ.)русск.. Quantum Theory, A Very Short Introduction (англ.). — Oxford University Press, 2002. — ISBN 978-0-19-280252-1.

Ссылки

• Квантовая механика — статья из Большой советской энциклопедии. 
• Физический энциклопедический словарь: Квантовая механика"

В другом языковом разделе есть более полная статья Wave function (англ.). Вы можете помочь проекту, расширив текущую статью с помощью перевода. При этом, для соблюдения правил атрибуции, следует установить шаблон {{переведённая статья}} на страницу обсуждения, либо указать ссылку на статью-источник в комментарии к правке.

Для улучшения этой статьи желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.