Волна де Бройля

Квантовая механика

${\displaystyle \Delta x\cdot \Delta p_{x}\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}$

Принцип неопределённости

Введение Математические основы

Основа Классическая механика · Постоянная Планка · Интерференция · Бра и кет · Гамильтониан · Старая квантовая теория Фундаментальные понятия Квантовое состояние · Квантовая наблюдаемая · Волновая функция · Квантовая суперпозиция · Квантовая запутанность · Смешанное состояние · Измерение · Неопределённость · Принцип Паули · Дуализм · Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннельный эффект Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга · Эксперимент квантового ластика · Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона Формулировки Представление Шрёдингера · Представление Гейзенберга · Представление взаимодействия · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям · Диаграммы Фейнмана Уравнения Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака · Уравнение Швингера — Томонаги · Уравнение фон Неймана · Уравнение Блоха · Уравнение Линдблада · Уравнение Гейзенберга Интерпретации Копенгагенская · Теория скрытых параметров · Многомировая · Теория де Бройля — Бома Развитие теории Квантовая теория поля · Квантовая электродинамика · Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама · Квантовая хромодинамика · Стандартная модель · Квантовая гравитация Сложные темы Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего Известные учёные Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт

См. также: Портал:Физика

Во́лны де Бро́йля — волны вероятности (или волны амплитуды вероятности^[1]), определяющие плотность вероятности обнаружения объекта в заданной точке конфигурационного пространства. В соответствии с принятой терминологией говорят, что волны де Бройля связаны с любыми частицами и отражают их волновую природу.

Идея о волнах, связанных не только с квантами света, но и массивными частицами, предложена Луи де Бройлем в 1923–1924 годах^[2] и называется гипотезой де Бройля. Хотя трактовка квадрата модуля амплитуды волны как плотности вероятности в конфигурационном пространстве принадлежит Максу Борну^[3], по традиции и в знак признания заслуг французского физика говорят о волнах де Бройля.

Идея волн де Бройля полезна для приблизительных выводах о масштабах проявления волновых свойств частиц, но не отражает всей физической реальности и потому не лежит в основе математического аппарата квантовой механики. Вместо дебройлевских волн эту роль в квантовой механике выполняет волновая функция, а в квантовой теории поля — полевые операторы.

Корпускулярно-волновой дуализм фотонов и массивных частиц

Физика атомов, молекул и их коллективов, в частности кристаллов, а также атомных ядер и элементарных частиц изучается в квантовой механике. Квантовые эффекты являются существенными, если характерное значение действия (произведение характерной энергии на характерное время или характерного импульса на характерное расстояние) становится сравнимым с ${\displaystyle \hbar }$ (постоянная Планка). Если частицы движутся со скоростями много меньше, чем скорость света в вакууме ${\displaystyle c}$, то применяется нерелятивистская квантовая механика; при скоростях близких к ${\displaystyle c}$ — релятивистская квантовая механика.

В основе квантовой механики лежат представления Планка о дискретном характере изменения энергии атомов, Эйнштейна о фотонах, данные о квантованности некоторых физических величин (например, импульса и энергии), характеризующих в определённых условиях состояния частиц микромира. В то же время было твёрдо установлено, что свет проявляет свойства не только потока частиц, но и волны, то есть обладает корпускулярно-волновым дуализмом.

Де Бройль выдвинул идею о том, что волновой характер распространения, установленный для фотонов, имеет универсальный характер. Он должен проявляться для любых частиц, обладающих импульсом ${\displaystyle p}$. Все частицы, имеющие конечный импульс ${\displaystyle p}$, обладают волновыми свойствами, в частности, подвержены интерференции и дифракции^[4].

Природа волн де Бройля

Волны де Бройля имеют специфическую природу, не имеющую аналогии среди волн, изучаемых в классической физике: квадрат модуля амплитуды волны де Бройля в данной точке является мерой вероятности того, что частица обнаруживается в этой точке. Дифракционные картины, которые наблюдаются в опытах, являются проявлением статистической закономерности, согласно которой частицы попадают в определённые места в приёмниках — туда, где интенсивность волны де Бройля оказывается наибольшей. Частицы не обнаруживаются в тех местах, где, согласно статистической интерпретации, квадрат модуля амплитуды «волны вероятности» обращается в нуль.

Формулы де Бройля

Формула де Бройля устанавливает зависимость длины волны ${\displaystyle \lambda }$, связанной с движущейся частицей вещества, от импульса ${\displaystyle p}$ частицы, а энергии ${\displaystyle E}$ — от частоты ${\displaystyle \nu }$, в виде релятивистски инвариантных соотношений:

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}},}$

${\displaystyle E=h\nu ,}$

где ${\displaystyle h}$ — постоянная Планка.

Другой вид формул де Бройля:

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {h}{2\pi }}\mathbf {k} =\hbar \mathbf {k} ,}$

${\displaystyle E=\hbar \omega ,}$

где ${\displaystyle \mathbf {k} ={\frac {2\pi }{\lambda }}\mathbf {n} }$ — волновой вектор, модуль которого ${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$ — волновое число — есть число длин волн, укладывающихся на ${\displaystyle 2\pi }$ единицах длины, ${\displaystyle \omega =2\pi \nu }$ — циклическая частота, ${\displaystyle \mathbf {n} }$ — единичный вектор в направлении распространения волны, ${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}\approx 1{,}05\cdot 10^{-34}}$ Дж·с.

Нерелятивистский предел

У частиц с дорелятивистскими энергиями, движущимися со скоростью ${\displaystyle v\ll c}$ (скорости света), для импульса справедлива формула ${\displaystyle p=mv}$ (где ${\displaystyle m}$ — масса частицы), для кинетической энергии ${\displaystyle W=E-mc^{2}}$ — формула ${\displaystyle W=mv^{2}/2}$. Тогда длина волны де Бройля

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}={\frac {h}{mv}}={\frac {h}{\sqrt {2mW}}}.}$

В частности, для электрона, который ускорился в электрическом поле с разностью потенциалов ${\displaystyle \Delta \varphi }$ вольт

${\displaystyle \lambda ={\frac {12{,}25}{\sqrt {\Delta \varphi }}}\;\mathrm {\AA} .}$

Ультрарелятивистский предел

Для частиц в ультрарелятивистском случае, когда их скорость близка к скорости света, ${\displaystyle v\rightarrow c,E\gg mc^{2}}$, длины волны равна ${\displaystyle \lambda ={\frac {hc}{E}}}$^[5].

Формулы де Бройля для четырёхвекторов

В четырёхмерном виде формулы де Бройля связывают четырёхвектор энергии-импульса ${\displaystyle p^{\mu }}$ с четырёхмерным волновым вектором и имеют вид^[6]:

${\displaystyle p^{\mu }={\begin{pmatrix}p_{0}\\p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E/c\\p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{pmatrix}}=\hbar {\begin{pmatrix}\omega /c\\k_{x}\\k_{y}\\k_{z}\end{pmatrix}}.}$

Энергия и импульс любого материального объекта связаны соотношением:

${\displaystyle {\frac {E^{2}}{c^{2}}}=m^{2}c^{2}+p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}.}$

Аналогичным соотношением связаны частота и волновой вектор^[6]:

${\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}+k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}.}$

Фазовая и групповая скорость волн де Бройля

Фазовая скорость волн де Бройля свободной частицы

${\displaystyle v_{f}={\frac {\omega }{k}}={\frac {E}{p}}={\frac {mc^{2}}{mv}}={\frac {c^{2}}{v}}\simeq {\frac {c^{2}}{h}}m\lambda ={\frac {c^{2}p^{2}}{2Wh}}\lambda .}$

Последние соотношения — нерелятивистское приближение. Зависимость фазовой скорости дебройлевских волн от длины волны указывает на то, что эти волны испытывают дисперсию. Фазовая скорость ${\displaystyle v_{f}}$ волны де Бройля хотя и больше скорости света, но относится к числу величин, принципиально неспособных переносить информацию (является чисто математическим объектом).

Групповая скорость волны де Бройля ${\displaystyle u}$ равна скорости частицы ${\displaystyle v}$:

${\displaystyle u={\frac {d\omega }{dk}}={\frac {dE}{dp}}=v}$.

Экспериментальная проверка

Гипотеза де Бройля объясняет ряд экспериментов, необъяснимых в рамках классической физики^[7]:

• Опыт Дэвиссона — Джермера по дифракции электронов на кристаллах никеля.
• Опыт Дж. П. Томсона по дифракции электронов на металлической фольге.
• Эффект Рамзауэра аномального уменьшения сечения рассеяния электронов малых энергий атомами аргона.
• Дифракция нейтронов на кристаллах (опыты Г. Хальбана, П. Прайсверка и Д. Митчелла).

Волновые свойства не проявляются у макроскопических тел. Длины волн де Бройля для таких тел настолько малы, что обнаружение волновых свойств оказывается невозможным. Впрочем, наблюдать квантовые эффекты можно и в макроскопическом масштабе, особенно ярким примером этому служат сверхпроводимость и сверхтекучесть.

См. также

• Волновой пакет
• Комптоновская длина волны
• Ток вероятности

Примечания

Литература

• Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 3–4. — 3-е изд. — М: Мир, 1976. — 496 с.

Ссылки

• Волны де Бройля / лекция «Элементы квантовой механики»
• Соотношение де Бройля // «Элементы»

Для улучшения этой статьи желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.