Боровская модель атома

Боровская модель водородоподобного атома (Z — заряд ядра), где отрицательно заряженный электрон заключен в атомной оболочке, окружающей малое, положительно заряженное атомное ядро. Переход электрона с орбиты на орбиту сопровождается излучением или поглощением кванта электромагнитной энергии (hν).

Бо́ровская моде́ль а́тома (Моде́ль Бо́ра) — полуклассическая модель атома, предложенная Нильсом Бором в 1913 г. За основу он взял планетарную модель атома, выдвинутую Резерфордом. Однако, с точки зрения классической электродинамики, электрон в модели Резерфорда, двигаясь вокруг ядра, должен был бы излучать энергию непрерывно и очень быстро и, потеряв её, упасть на ядро. Чтобы преодолеть эту проблему, Бор ввёл допущение, суть которого заключается в том, что электроны в атоме могут двигаться только по определённым (стационарным) орбитам, находясь на которых они не излучают энергию, а излучение или поглощение происходит только в момент перехода с одной орбиты на другую. Причём, стационарными являются лишь те орбиты, при движении по которым момент количества движения электрона равен целому числу постоянных Планка^[1]: ${\displaystyle m_{e}vr=n\hbar \ }$.

Используя это допущение и законы классической механики, а именно равенство силы притяжения электрона со стороны ядра и центробежной силы, действующей на вращающийся электрон, он получил следующие значения для радиуса стационарной орбиты ${\displaystyle R_{n}}$ и энергии ${\displaystyle E_{n}}$ находящегося на этой орбите электрона:

${\displaystyle R_{n}=4\pi {\frac {\varepsilon _{0}}{Ze^{2}}}{\frac {n^{2}\hbar ^{2}}{m_{e}}};\quad E_{n}=-{\frac {1}{8\pi }}{\frac {Ze^{2}}{\varepsilon _{0}}}{\frac {1}{R_{n}}};}$

Здесь ${\displaystyle m_{e}}$ — масса электрона, ${\displaystyle Z}$ — количество протонов в ядре, ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ — электрическая постоянная, ${\displaystyle e}$ — заряд электрона.

Именно такое выражение для энергии можно получить, применяя уравнение Шрёдингера в задаче о движении электрона в центральном кулоновском поле.

Радиус первой орбиты в атоме водорода R₀=5,2917720859(36)⋅10⁻¹¹ м^[2], ныне называется боровским радиусом, либо атомной единицей длины и широко используется в современной физике. Энергия первой орбиты ${\displaystyle E_{0}=-13.6}$ эВ представляет собой энергию ионизации атома водорода.

Полуклассическая теория Бора

Основана на двух постулатах Бора:

• Атом может находиться только в особенных стационарных или квантовых состояниях, каждому из которых отвечает определённая энергия. В стационарном состоянии атом не излучает электромагнитных волн.
• Излучение и поглощение энергии атомом происходит при скачкообразном переходе из одного стационарного состояния в другое, при этом имеют место два соотношения:
  1. ${\displaystyle \varepsilon =E_{n2}-E_{n1},}$ где ${\displaystyle \ \varepsilon }$ — излучённая (поглощённая) энергия, ${\displaystyle \ n_{1},n_{2}}$ — номера квантовых состояний. В спектроскопии ${\displaystyle \ E_{n1}}$ и ${\displaystyle \ E_{n2}}$ называются термами.
  2. Правило квантования момента импульса: ${\displaystyle \ m\upsilon r=n\hbar ,}$ ${\displaystyle \ n=1,2,3...}$

Далее исходя из соображений классической физики о круговом движении электрона вокруг неподвижного ядра по стационарной орбите под действием кулоновской силы притяжения, Бором были получены выражения для радиусов стационарных орбит и энергии электрона на этих орбитах:

${\displaystyle \ r_{n}=an^{2},}$ ${\displaystyle a={\frac {\hbar ^{2}}{kme^{2}}}=5.3\cdot 10^{-11}}$ м — боровский радиус.

${\displaystyle \ E_{n}=-R_{y}{\frac {1}{n^{2}}},}$ ${\displaystyle R_{y}={\frac {mk^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}}}}$ — энергетическая постоянная Ридберга (численно равна 13,6 эВ).

Формула Зоммерфельда — Дирака

Движение электрона вокруг атомного ядра в рамках классической механики можно рассматривать как «линейный осциллятор», который характеризуется «адиабатичным инвариантом», представляющим собой площадь эллипса (в обобщённых координатах):

${\displaystyle \oint \mathbf {p} \cdot \,\mathbf {dq} ={\frac {W}{\nu }}=J}$

где ${\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} }$ — обобщённый импульс и координаты электрона, ${\displaystyle W}$ — энергия, ${\displaystyle \nu }$ — частота. А квантовый постулат утверждает, что площадь замкнутой кривой в фазовой ${\displaystyle pq}$ — плоскости за один период движения, равна целому числу, умноженному на постоянную Планка ${\displaystyle h}$ (Дебай, 1913 г.). С точки зрения рассмотрения постоянной тонкой структуры наиболее интересным является движение релятивистского электрона в поле ядра атома, когда его масса зависит от скорости движения. В этом случае мы имеем два квантовых условия:

${\displaystyle J_{1}=nh\ }$, ${\displaystyle J_{2}=kh\ }$,

где ${\displaystyle n}$ определяет главную полуось эллиптической орбиты электрона (${\displaystyle a}$), а ${\displaystyle k}$ — его фокальный параметр ${\displaystyle q}$:

${\displaystyle a=a_{0}n^{2}\ }$, ${\displaystyle q=a_{0}k^{2}\ }$.

В этом случае Зоммерфельд получил выражение для энергии в виде

${\displaystyle E=-{\frac {RyZ^{2}}{n^{2}}}+\epsilon (n,k)}$.

где ${\displaystyle Ry}$ — постоянная Ридберга, а ${\displaystyle Z}$ — порядковый номер атома (для водорода ${\displaystyle Z=1}$).

Дополнительный член ${\displaystyle \epsilon (n,k)}$ отражает более тонкие детали расщепления спектральных термов водородоподобных атомов, а их число определяется квантовым числом ${\displaystyle k}$. Таким образом сами спектральные линии представляют собой системы более тонких линий, которые соответствуют переходам между уровнями высшего состояния (${\displaystyle n=n_{1},k=1,2,...,n_{1}}$) и низшего состояния (${\displaystyle n=n_{2},k=1,2,...,n_{2}}$). Это и есть т. н. тонкая структура спектральных линий. Зоммерфельд разработал теорию тонкой структуры для водородоподобных атомов (${\displaystyle H}$, ${\displaystyle He^{+}}$ , ${\displaystyle Li^{2+}}$), а Фаулер с Пашеном на примере спектра однократно ионизированного гелия ${\displaystyle He^{+}}$ установили полное соответствие теории с экспериментом.

Зоммерфельд (1916 г.) еще задолго до возникновения квантовой механики Шредингера получил феноменологичную формулу для водородных термов в виде:

${\displaystyle E+E_{0}=E_{0}\left(1+{\frac {\alpha ^{2}Z^{2}}{\left(n_{r}+{\sqrt {n_{\phi }^{2}-\alpha ^{2}Z^{2}}}\right)^{2}}}\right)^{-1/2}}$,

где ${\displaystyle \alpha }$ — постоянная тонкой структуры, ${\displaystyle Z}$ — порядковый номер атома, ${\displaystyle E_{0}=mc^{2}}$ — энергия покоя, ${\displaystyle n_{r}}$ — радиальное квантовое число, а ${\displaystyle n_{\phi }}$ — азимутальное квантовое число. Позднее эту формулу получил Дирак, используя релятивистское уравнения Шрёдингера. Поэтому сейчас эта формула и носит имя Зоммерфельда — Дирака.

Появление тонкой структуры термов связано с прецессией электронов вокруг ядра атома. Поэтому появление тонкой структуры можно обнаружить по резонансному эффекту в области ультракоротких электромагнитных волн. В случае ${\displaystyle Z=1}$ (атом водорода) величина расщепления близка к

${\displaystyle E/h\approx R\alpha ^{2}/n^{2}}$

Поскольку длина электромагнитной волны равна

${\displaystyle \lambda =c/\nu =ch/E=cn^{2}/R\alpha ^{2}\approx 0,17cm}$

Поэтому для ${\displaystyle n=2}$ это будет почти 1 см.

Достоинства теории Бора

• Объяснила дискретность энергетических состояний водородоподобных атомов.
• Теория Бора подошла к объяснению внутриатомных процессов с принципиально новых позиций, стала первой полуквантовой теорией атома.
• Эвристическое значение теории Бора состоит в смелом предположении о существовании стационарных состояний и скачкообразных переходов между ними. Эти положения позднее были распространены и на другие микросистемы.
• Объясняет границу таблицы Менделеева. Последний атом, способный существовать физически, имеет порядковый номер 137, так как, начиная со 138-го элемента 1s-электрон должен двигаться со сверхсветовой скоростью, что противоречит специальной теории относительности.

Недостатки теории Бора

• Не смогла объяснить интенсивность спектральных линий.
• Справедлива только для водородоподобных атомов и не работает для атомов, следующих за ним в таблице Менделеева без экспериментальных данных (энергии ионизации или других).
• Теория Бора логически противоречива: не является ни классической, ни квантовой. В системе двух уравнений, лежащих в её основе, одно — уравнение движения электрона — классическое, другое — уравнение квантования орбит — квантовое.

Теория Бора являлась недостаточно последовательной и общей. Поэтому она в дальнейшем была заменена современной квантовой механикой, основанной на более общих и непротиворечивых исходных положениях. Сейчас известно, что постулаты Бора являются следствиями более общих квантовых законов. Но правила квантования широко используются и в наши дни как приближённые соотношения: их точность часто бывает очень высокой.

Примечания

Литература

• Борн М. Атомная физика, 2-е изд., М.:Мир,1967.- 493с.

Для улучшения этой статьи по физике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.