Абсолютная величина

График вещественной функции

Модуль ${\displaystyle |z|}$ и другие характеристики комплексного числа ${\displaystyle z}$

Абсолю́тная величина́, или мо́дуль, числа ${\displaystyle x}$ (в математике) — неотрицательное число, которое, неформально говоря, обозначает расстояние между 0 и x. Обозначается: ${\displaystyle |x|.}$

В случае вещественного ${\displaystyle x}$ абсолютная величина есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:

${\displaystyle |x|={\begin{cases}x,&x>0,\\0,&x=0,\\-x,&\ x<0.\end{cases}}}$

При отрицательном x число −x как раз и получается положительным. Обобщением этого понятия является модуль, или абсолютная величина^[1], комплексного числа ${\displaystyle z=x+iy.}$ Это число определяется по формуле:

${\displaystyle |z|=|x+iy|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$

Основные свойства

С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|}$ означает расстояние между точками ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой — например, в определении предела по Коши или медианы^[2].

Вещественные числа

• Область определения: ${\displaystyle (-\infty ;+\infty ).}$
• Область значений: ${\displaystyle [0;+\infty ).}$
• Функция чётная.
• Функция дифференцируема всюду, кроме нуля. В точке ${\displaystyle x=0}$ функция претерпевает излом.

Комплексные числа

• Область определения: вся комплексная плоскость.
• Область значений: ${\displaystyle [0;+\infty ).}$
• Модуль как комплексная функция не дифференцируема ни в одной точке, поскольку условия Коши-Римана не выполнены.

Алгебраические свойства

Для любых вещественных чисел ${\displaystyle a,b}$ имеют место следующие соотношения:

• ${\displaystyle \ |x|={\sqrt {x^{2}}}=x\cdot \operatorname {sgn} x={\rm {max}}\,\{x,\,-x\}}$ (sgn — функция знака);
• ${\displaystyle a\leqslant |a|;}$
• ${\displaystyle -|a|\leqslant a;}$
• квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: ${\displaystyle |a|^{2}=a^{2}.}$

Как для вещественных, так и для комплексных ${\displaystyle a,b}$ имеют место соотношения:

• модуль любого числа равен либо больше нуля: ${\displaystyle |a|\geqslant 0}$, причём ${\displaystyle |a|=0}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a=0;}$
• модули противоположных чисел равны: ${\displaystyle |{-a}|=|a|;}$
• модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей: ${\displaystyle |ab|=|a||b|;}$
  • в частности, постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля: ${\displaystyle |ab|=a|b|,\quad a>0;}$
• модуль частного от деления двух чисел равен частному от деления модулей этих двух чисел: ${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}};}$
• ${\displaystyle |a+b|\leqslant |a|+|b|}$ (неравенство треугольника);
• ${\displaystyle |a-b|\leqslant |a|+|b|;}$
• ${\displaystyle |a|-|b|\leqslant |a+b|;}$
• ${\displaystyle |a\pm b|\geqslant {\big |}|a|-|b|{\big |};}$
• ${\displaystyle |a^{k}|=|a|^{k},}$ если ${\displaystyle a^{k}}$ существует.

История

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века.

В языках программирования

Поскольку эта функция вычисляется достаточно просто (а именно с помощью сравнений и присваиваний), то обычно она входит в стандартный список функций во все языки программирования. Например, в Pascal есть функция abs(x), а в C fabs(x) для вещественного типа. В программе Wolfram Mathematica: Abs[x].

Обобщение

Понятие абсолютной величины можно ввести в произвольном упорядоченном кольце или упорядоченном поле, и свойства её будут аналогичны приведённым выше.

Обобщением понятия модуля можно считать норму элемента многомерного векторного пространства, обозначаемую ${\displaystyle \|x\|}$. Норма вектора в евклидовом пространстве иногда тоже называется модулем. По аналогии с модулем разности чисел, норма разности двух векторов является мерой близости между ними. В отличие от модуля числа, норма вектора может определяться различными способами, однако в случае одномерного пространства норма вектора пропорциональна (часто и равна) модулю его единственной координаты.

См. также

• Модуль комплексного числа
• Модуль вектора
• Норма вектора
• Нормирование
• Нормированное векторное пространство

Примечания