Зако́ны Ке́плера — три эмпирических соотношения, интуитивно подобранных Иоганном Кеплером на основе анализа астрономических наблюдений Тихо Браге, изложенные в опубликованных им работах между 1609 и 1619 годами. Описывают идеализированную гелиоцентрическую орбиту планеты. В рамках классической механики выводятся из решения задачи двух тел в случае пренебрежимо малой массы планеты, то есть предельным переходом
, где
,
— массы планеты и звезды соответственно.
Первый закон Кеплера (закон эллипсов)
Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением
, где
— расстояние от центра эллипса до его фокуса (фокальное расстояние),
— большая полуось. Величина
называется эксцентриситетом эллипса. При
, и, следовательно,
эллипс превращается в окружность.
Доказательство первого закона Кеплера
Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что «каждый объект во Вселенной притягивает каждый другой объект по линии, соединяющей центры масс объектов, пропорционально массе каждого объекта, и обратно пропорционально квадрату расстояния между объектами». Это предполагает, что ускорение
имеет форму

Вспомним, что в полярных координатах


В координатной форме запишем


Подставляя
и
во второе уравнение, получим

которое упрощается

После интегрирования запишем выражение



для некоторой константы
, которая является удельным угловым моментом (
).
Пусть



Уравнение движения в направлении
становится равным

Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с расстоянием как

где
— универсальная гравитационная константа и
— масса звезды.
В результате

Это дифференциальное уравнение имеет общее решение:
![u = \frac{GM}{\ell^2} \left[ 1 + e\cos(\theta-\theta_0) \right] .](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42fbe7cf85e62de26af8d081e36bc2a4ef36954c)
для произвольных констант интегрирования
и
.
Заменяя
на 1/
и полагая
, получим:

Мы получили уравнение конического сечения с эксцентриситетом
и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.
Второй закон Кеплера (закон площадей)
Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает собой равные площади.
Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий — наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.
Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.
Доказательство второго закона Кеплера
Третий закон Кеплера (гармонический закон)
Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет.
,
где
и
— периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а
и
— длины больших полуосей их орбит. Утверждение справедливо также для спутников.
Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определённой массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты:
,
где
— масса Солнца, а
и
— массы планет.
Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.
Доказательство третьего закона Кеплера
Второй закон Кеплера утверждает, что радиус-вектор обращающегося тела заметает равные площади за равные промежутки времени. Если теперь мы возьмём очень малые промежутки времени в момент, когда планета находится в точках
(перигелий) и
(афелий), то мы сможем аппроксимировать площадь треугольниками с высотами, равными расстоянию от планеты до Солнца, и основанием, равным произведению скорости планеты на время.



Используя закон сохранения энергии для полной энергии планеты в точках
и
, запишем









Теперь, когда нашли
, мы можем найти секториальную скорость. Так как она постоянна, то можем выбрать любую точку эллипса: например, для точки B получим

Однако полная площадь эллипса равна
(что равно
, поскольку
). Время полного оборота, таким образом, равно




Заметим, что если масса
не пренебрежимо мала по сравнению с
, то планета будет обращаться вокруг Солнца с той же скоростью и по той же орбите, что и материальная точка, обращающаяся вокруг массы
(см. приведённая масса). При этом массу
в последней формуле нужно заменить на
:

Альтернативное доказательство третьего закона Кеплера (более простое)
Рассмотрим планету как точку массой m, вращающейся по эллиптической орбите, в двух положениях:
- перигелий с радиус-вектором
, скоростью
;
- афелий с радиус-вектором
, скоростью
.
Запишем закон сохранения момента импульса

- и закон сохранения энергии
,
где M - масса Солнца.
Решая систему, нетрудно получить соотношение на скорость планеты в точке "перигелий":
.
Выразим секторную скорость (которая по второму закону Кеплера является постоянной величиной):
.
Вычислим площадь эллипса, по которому движется планета. С одной стороны:

где
- длина большой полуоси,
- длина малой полуоси орбиты.
С другой стороны, воспользовавшись тем, что для вычисления площади сектора можно перемножить секторную скорость на период оборота:
.
Следовательно,
.
Для дальнейших преобразований воспользуемся геометрическими свойствами эллипса. Имеем соотношения



Подставим в формулу площади эллипса:

Откуда окончательно получим:

или в традиционном виде

См. также
Литература
 |
---|
Древний период | | |
---|
Средневековье | |
---|
Становление теоретической астрономии | |
---|
XVII век | |
---|
XVIII век | |
---|
XIX век | |
---|
XX век | |
---|
 |
---|
Научные достижения | | |
---|
Публикации | |
---|
Семья | |
---|