1-й закон Кеплера

Зако́ны Ке́плера — три эмпирических соотношения, интуитивно подобранных Иоганном Кеплером на основе анализа астрономических наблюдений Тихо Браге, изложенные в опубликованных им работах между 1609 и 1619 годами. Описывают идеализированную гелиоцентрическую орбиту планеты. В рамках классической механики выводятся из решения задачи двух тел в случае пренебрежимо малой массы планеты, то есть предельным переходом $m_{p}/m_{s}\rightarrow 0$ , где $m_{p}$ , $m_{s}$ — массы планеты и звезды соответственно.

Первый закон Кеплера (закон эллипсов)

Первый закон Кеплера

Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением $e={\frac {c}{a}}$ , где $c$ — расстояние от центра эллипса до его фокуса (фокальное расстояние), ${a}$ — большая полуось. Величина $e$ называется эксцентриситетом эллипса. При $c=0$ , и, следовательно, $e=0$ эллипс превращается в окружность.

Доказательство первого закона Кеплера

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что «каждый объект во Вселенной притягивает каждый другой объект по линии, соединяющей центры масс объектов, пропорционально массе каждого объекта, и обратно пропорционально квадрату расстояния между объектами». Это предполагает, что ускорение $a$ имеет форму

\mathbf {a} ={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=f(r){\hat {\mathbf {r} }}.

Вспомним, что в полярных координатах

{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},

{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}.

В координатной форме запишем

{\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=f(r),

r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}=0.

Подставляя ${\ddot {\theta }}$ и ${\dot {r}}$ во второе уравнение, получим

r{d{\dot {\theta }} \over dt}+2{dr \over dt}{\dot {\theta }}=0,

которое упрощается

{\frac {d{\dot {\theta }}}{\dot {\theta }}}=-2{\frac {dr}{r}}.

После интегрирования запишем выражение

\ln {\dot {\theta }}=-2\ln r+\ln \ell ,

\ln \ell =\ln r^{2}+\ln {\dot {\theta }},

\ell =r^{2}{\dot {\theta }},

для некоторой константы $\ell$ , которая является удельным угловым моментом ( $\ell =\mathbf {r} \times \mathbf {v}$ ).

Пусть

r={\frac {1}{u}},

{\dot {r}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\dot {u}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {du}{d\theta }}=-\ell {\frac {du}{d\theta }},

{\ddot {r}}=-\ell {\frac {d}{dt}}{\frac {du}{d\theta }}=-\ell {\dot {\theta }}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}=-\ell ^{2}u^{2}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}.

Уравнение движения в направлении ${\hat {\mathbf {r} }}$ становится равным

{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {1}{\ell ^{2}u^{2}}}f\left({\frac {1}{u}}\right).

Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с расстоянием как

f\left({1 \over u}\right)=f(r)=-\,{GM \over r^{2}}=-GMu^{2}

где $G$ — универсальная гравитационная константа и $M$ — масса звезды.

В результате

{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u={\frac {GM}{\ell ^{2}}}.

Это дифференциальное уравнение имеет общее решение:

u={\frac {GM}{\ell ^{2}}}\left[1+e\cos(\theta -\theta _{0})\right].

для произвольных констант интегрирования $e$ и $\theta _{0}$ .

Заменяя $u$ на 1/ $r$ и полагая $\theta _{0}=0$ , получим:

r={1 \over u}={\frac {\ell ^{2}/GM}{1+e\cos \theta }}.

Мы получили уравнение конического сечения с эксцентриситетом $e$ и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.

Второй закон Кеплера (закон площадей)

Второй закон Кеплера

Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает собой равные площади.

Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий — наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.

Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает также, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.

Доказательство второго закона Кеплера

По определению угловой момент $\mathbf {L}$ точечной частицы с массой $m$ и скоростью $\mathbf {v}$ записывается в виде:

\mathbf {L} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times (m\mathbf {v} )

.

где $\mathbf {r}$ — радиус-вектор частицы а $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$ — импульс частицы. Площадь, заметаемая радиус-вектором $\mathbf {r}$ за время $dt$ из геометрических соображений равна

dS={\frac {1}{2}}r\sin \phi vdt={\frac {1}{2}}|\mathbf {r} \times \mathbf {v} |dt={\frac {\mathbf {|L|} }{2m}}dt

,

где $\phi$ представляет собой угол между направлениями $\mathbf {r}$ и $\mathbf {v}$ .

По определению

\mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}

.

В результате мы имеем

\mathbf {L} =\mathbf {r} \times m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}

.

Продифференцируем обе части уравнения по времени

{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=(\mathbf {r} \times \mathbf {F} )+\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)=(\mathbf {r} \times \mathbf {F} )+(\mathbf {v} \times \mathbf {p} )=0

поскольку векторное произведение параллельных векторов равно нулю. Заметим, что $F$ всегда параллелен $r$ , поскольку сила радиальная, и $p$ всегда параллелен $v$ по определению. Так как производная от константы равна нулю, $|\mathbf {L} |$ , а следовательно и пропорциональная ей скорость заметания площади ${\frac {dS}{dt}}$ — константы.

Третий закон Кеплера (гармонический закон)

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет.

{\frac {T_{1}^{2}}{T_{2}^{2}}}={\frac {a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}}}

,

Третий закон Кеплера

где $T_{1}$ и $T_{2}$ — периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а $a_{1}$ и $a_{2}$ — длины больших полуосей их орбит. Утверждение справедливо также для спутников.

Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определённой массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты:

{\frac {T_{1}^{2}(M+m_{1})}{T_{2}^{2}(M+m_{2})}}={\frac {a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}}}

,

где $M$ — масса Солнца, а $m_{1}$ и $m_{2}$ — массы планет.

Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.

Доказательство третьего закона Кеплера

Второй закон Кеплера утверждает, что радиус-вектор обращающегося тела заметает равные площади за равные промежутки времени. Если теперь мы возьмём очень малые промежутки времени в момент, когда планета находится в точках $P$ (перигелий) и $A$ (афелий), то мы сможем аппроксимировать площадь треугольниками с высотами, равными расстоянию от планеты до Солнца, и основанием, равным произведению скорости планеты на время.

{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1-\varepsilon )a\cdot V_{A}\,dt={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\varepsilon )a\cdot V_{B}\,dt

(1-\varepsilon )\cdot V_{A}=(1+\varepsilon )\cdot V_{B}

V_{A}=V_{B}\cdot {\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}

Используя закон сохранения энергии для полной энергии планеты в точках $A$ и $B$ , запишем

{\frac {mV_{A}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{(1-\varepsilon )a}}={\frac {mV_{B}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{(1+\varepsilon )a}}

{\frac {V_{A}^{2}}{2}}-{\frac {V_{B}^{2}}{2}}={\frac {GM}{(1-\varepsilon )a}}-{\frac {GM}{(1+\varepsilon )a}}

{\frac {V_{A}^{2}-V_{B}^{2}}{2}}={\frac {GM}{a}}\cdot \left({\frac {1}{(1-\varepsilon )}}-{\frac {1}{(1+\varepsilon )}}\right)

{\frac {\left(V_{B}\cdot {\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}\right)^{2}-V_{B}^{2}}{2}}={\frac {GM}{a}}\cdot \left({\frac {1+\varepsilon -1+\varepsilon }{(1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}\right)

V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}\right)^{2}-V_{B}^{2}={\frac {2GM}{a}}\cdot \left({\frac {2\varepsilon }{(1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}\right)

V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {(1+\varepsilon )^{2}-(1-\varepsilon )^{2}}{(1-\varepsilon )^{2}}}\right)={\frac {4GM\varepsilon }{a\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}

V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {1+2\varepsilon +\varepsilon ^{2}-1+2\varepsilon -\varepsilon ^{2}}{(1-\varepsilon )^{2}}}\right)={\frac {4GM\varepsilon }{a\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}

V_{B}^{2}\cdot 4\varepsilon ={\frac {4GM\varepsilon \cdot (1-\varepsilon )^{2}}{a\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}

V_{B}={\sqrt {\frac {GM\cdot (1-\varepsilon )}{a\cdot (1+\varepsilon )}}}.

Теперь, когда нашли $V_{B}$ , мы можем найти секторную скорость. Так как она постоянна, то можем выбрать любую точку эллипса: например, для точки B получим

{\frac {dA}{dt}}={\frac {{\frac {1}{2}}\cdot (1+\epsilon )a\cdot V_{B}\,dt}{dt}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\epsilon )a\cdot V_{B}

={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\varepsilon )a\cdot {\sqrt {\frac {GM\cdot (1-\varepsilon )}{a\cdot (1+\varepsilon )}}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot {\sqrt {GMa\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}

Однако полная площадь эллипса равна $\pi a{\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a$ (что равно $\pi ab$ , поскольку $b={\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a$ ). Время полного оборота, таким образом, равно

T\cdot {\frac {dA}{dt}}=\pi a{\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a

T\cdot {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot {\sqrt {GMa\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}=\pi {\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a^{2}

T={\frac {2\pi {\sqrt {(1-\epsilon ^{2})}}a^{2}}{\sqrt {GMa\cdot (1-\epsilon )(1+\epsilon )}}}={\frac {2\pi a^{2}}{\sqrt {GMa}}}={\frac {2\pi }{\sqrt {GM}}}{\sqrt {a^{3}}}

T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{GM}}a^{3}.

Заметим, что если масса $m$ не пренебрежимо мала по сравнению с $M$ , то планета будет обращаться вокруг Солнца с той же скоростью и по той же орбите, что и материальная точка, обращающаяся вокруг массы $M+m$ (см. приведённая масса). При этом массу $M$ в последней формуле нужно заменить на $M+m$ :

T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3}.

Альтернативное доказательство третьего закона Кеплера (более простое)

Рассмотрим планету как точку массой m, вращающейся по эллиптической орбите, в двух положениях:

перигелий с радиус-вектором $r_{1}=a-c$ , скоростью $V_{1}$ ;
афелий с радиус-вектором $r_{2}=c+a$ , скоростью $V_{2}$ .

Запишем закон сохранения момента импульса

mV_{1}r_{1}=mV_{2}r_{2}

и закон сохранения энергии

{\frac {mV_{1}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{r_{1}}}={\frac {mV_{2}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{r_{2}}}

,

где M - масса Солнца.

Решая систему, нетрудно получить соотношение на скорость планеты в точке "перигелий":

V_{1}={\sqrt {2GM{\frac {r_{2}/r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}}

.

Выразим секторную скорость (которая по второму закону Кеплера является постоянной величиной):

V_{s}=1/2\cdot V_{1}r_{1}={\sqrt {GM{\frac {r_{2}r_{1}}{2(r_{1}+r_{2})}}}}

.

Вычислим площадь эллипса, по которому движется планета. С одной стороны:

S_{ellipse}=\pi ab

где $a$ - длина большой полуоси, $b$ - длина малой полуоси орбиты.

С другой стороны, воспользовавшись тем, что для вычисления площади сектора можно перемножить секторную скорость на период оборота:

S_{ellipse}=V_{s}\cdot T=T\cdot {\sqrt {\frac {GMr_{2}r_{1}}{2(r_{1}+r_{2})}}}

.

Следовательно,

T\cdot {\sqrt {\frac {GMr_{2}r_{1}}{2(r_{1}+r_{2})}}}=\pi ab

.

Для дальнейших преобразований воспользуемся геометрическими свойствами эллипса. Имеем соотношения

c^{2}=a^{2}-b^{2}

r_{1}+r_{2}=2a

r_{1}\cdot r_{2}=a^{2}-c^{2}=b^{2}

Подставим в формулу площади эллипса:

T\cdot {\sqrt {GM{\frac {b^{2}}{4a}}}}=\pi ab

Откуда окончательно получим:

{\frac {T}{a^{3/2}}}=const

или в традиционном виде

{\frac {T^{2}}{a^{3}}}=const.

См. также

Задача Бертрана

Литература

Кеплера законы // Энциклопедический словарь юного астронома / сост. Н. П. Ерпылев. — 2-е изд. — М.: Педагогика, 1986. — С. 121—122. — 336 с.
Смородинский Я. A. Планеты движутся по эллипсам // Квант. — 1979. — № 12. — С. 13—19.

Словари и энциклопедии	Большая каталанская Большая норвежская Britannica (онлайн) Britannica (онлайн) Britannica (онлайн) Universalis
Нормативный контроль	BNF: 12445155q GND: 4365820-9 LCCN: sh94003544 Microsoft: 19699116 SUDOC: 033600619

История астрономии
Древний период	Вавилон Древний Египет Древний Китай Индия Инки Майя Ацтеки Австралийские аборигены Древняя Греция
Средневековье	Индия Исламский Восток Средневековая Европа Космология в иудаизме
Становление теоретической астрономии	Гелиоцентрическая система мира Законы Кеплера
XVII век	Закон всемирного тяготения
XVIII век	Эдмунд Галлей Уильям Гершель
XIX век	Открытие Нептуна
XX век	Телескоп Хаббл

Иоганн Кеплер
Научные достижения	Гипотеза Кеплера Законы Кеплера Кеплеровы элементы орбиты Треугольник Кеплера Уравнение Кеплера Тело Кеплера — Пуансо Сверхновая Кеплера
Публикации	Mysterium Cosmographicum (1596) Astronomia nova (1609) Epitome Astronomiae Copernicanae (1617–21) Harmonices Mundi (1619) Рудольфинские таблицы (1627) Somnium (1634)
Семья	Катарина Кеплер (мать) Якоб Барч (зять)