Расстояние


Относительные размеры
объектов, lg м
-20 —
-18 —
-16 —
-14 —
-12 —
-10 —
-8 —
-6 —
-4 —
-2 —
0 —
2 —
4 —
6 —
8 —
10 —
12 —
14 —
16 —
18 —
20 —
22 —
24 —
26 —
28 —
30 —
Диаметр протона — 0,8·10-15
Диаметр атомного ядра — 3·10-15
Размер атома — 3·10-10
Размер водяной капли в
тумане — 5·10-6
Средний рост человека — 1,7
Диаметр Луны — 3,48·106
Диаметр Земли — 1,3·107
Диаметр Солнца — 1,39·109
Средний радиус орбиты
Земли — 1,5·1011
Расстояние до
звезды альфа Центавра — 4·1016
Диаметр Млечного Пути — 7·1020
Расстояние до
туманности Андромеды — 1022
Размер видимой Вселенной — 1027

Расстоя́ние, в широком смысле, степень (мера) удалённости объектов друг от друга.

Расстояние является фундаментальным понятием геометрии. Термин часто используется в других науках и дисциплинах: астрономия, география, геодезия, навигация и других. В различных дисциплинах как термин имеет различное определение, представленное ниже.

Расстояние в математике

Расстояние в алгебре

Содержание термина «расстояние» в алгебре связано с понятием метрики и метрического пространства.

Метрическим пространством называется множество X, если дано такое отображение, называемое метрикой, X² в множество неотрицательных чисел, что для любых элементов a, b, c множества X выполняются следующие аксиомы, называемые аксиомами Фреше:

1) , притом равенство выполняется тогда и только тогда, когда элементы a и b равны;

2) ;

3) .

Для третьей аксиомы частным случаем является неравенство треугольника.

Расстояние в множестве действительных чисел

Введение метрики

Для множества всех действительных чисел расстояние от числа a до числа b математики считают число .

Легко убедиться, что множество действительных чисел с данной метрикой будет являться метрическим пространством.

Доказательство

Первое условие выполняется, так как модуль любого действительного числа из определения - число неотрицательное, притом модуль числа равен нулю тогда и только тогда, когда выражение под модулем равно нулю, откуда, если равенство выполняется, то числа равны.

Второе свойство верно, так как из свойств модуля числа: .

Третье свойство выполняется, так как само свойство равносильно , но , а модуль суммы всегда не превосходит суммы модулей.

Расстояние в множестве пар действительных чисел

Из основных метрик в множестве пар действительных чисел (а в графической интерпретации - множестве всех точек плоскости) выделяют две: метрику Декарта и метрику Евклида.

Метрика Декарта
Введение метрики

Для множества пар действительных чисел дана метрика Декарта:

.

Убедимся, что множество пар действительных чисел (R²) с введенной метрикой Декарта является метрическим пространством.

Доказательство

Первое свойство очевидно выполняется, так как сумма модулей, каждый из которых является неотрицательным числом - также число неотрицательное. Притом равенство выполняется тогда и только тогда, когда оба выражения под модулем равны нулю, но тогда и рассматриваемые элементы-пары множества также равны.

Второе свойство выполняется, так как .

Докажем третье свойство:

Пусть даны три пары действительных чисел, (a; b), (c; d), (e; f). Тогда требуемое неравенство можно записать в следующем виде:

. Данное неравенство верно, что следует из сложения двух следующих неравенств, доказанных ранее:

и .

Метрика Евклида
Введение метрики

Для множества пар действительных чисел дана метрика Евклида:

.

Убедимся, что множество R² с введенной метрикой Евклида является метрическим пространством.

Доказательство

Первое свойство выполняется, так как арифметический корень из неотрицательного числа всегда неотрицателен. Если же выполняется равенство нулю, то оба выражения возводимые в квадрат, равны нулю, откуда требуемое очевидно.

Второе свойство выполняется, так как .

Докажем третье свойство:

Пусть даны три пары действительных чисел, (a; b), (c; d), (e; f). Тогда требуемое неравенство можно записать в следующем виде:

. После возведения в квадрат и преобразования данного выражения приходим к следующему неравенству:

, которое верно, что следует из неравенства Коши-Буняковского (при соответствующей замене разностей чисел).

Расстояние в геометрии

В геометрии расстояние между фигурами - минимально возможная длина отрезка между точкой, принадлежащей первой фигуре, и точкой, принадлежащей второй фигуре.

Расстояние в технике

Расстояние между объектами — длина отрезка прямой, соединяющей два объекта. Расстояние в этом смысле является физической величиной с размерностью длины, значение расстояния выражается в единицах длины.

Расстояние в физике

Расстояние
s
Единицы измерения
СИ м
СГС см

В физике расстояние меряется единицами длины, которые в большинстве систем измерений являются одной из основных единиц измерения. В международной системе единиц (СИ) за единицу длины принят метр. Расстоянием также называют длину пути, пройденного объектом. В этом случае производной расстояния (радиус-вектора) по времени является скорость.

Другие использования

В проксемике понятие расстояния используют для описания личного пространства человека.

См. также

Примечания

Литература