Преобразование Вигнера — Вейля

В квантовой механике, преобразование Вигнера — Вейля (названо в честь Германа Вейля и Юджина Вигнера) — обратимое отображение функций в представлении фазового пространства на операторы гильбертова пространства в представлении Шредингера.

Часто отображение функций заданных на фазовом пространстве в пространство операторов называется преобразованием Вейля и квантованием Вейля, в то время как обратное преобразование, от операторов к функциям в фазовом пространстве, называется преобразованием Вигнера. Это сопоставление первоначально было изобретено Германом Вейлем в 1927 году в попытке получить отображение симметризованных классических функций в фазовом пространстве на операторы, процедура, известная как квантование Вейля.[1] Сейчас известно, что квантование Вейля не удовлетворяет всем свойствам, которые можно требовать для квантования, и поэтому иногда даёт нефизические ответы. С другой стороны, обладает некоторыми хорошими свойствами, описанными ниже. Если кто-то ищет единую непротиворечивую процедуру квантования для отображения функций в классическом фазовом пространстве на операторы, то квантование Вейля является оптимальным вариантом, хотя теорема Груневолда гласит, что не существует такого отображения, которое имеет все те свойства, которые можно было бы желать в идеале.

Преобразование Вейля — Вигнера является четко определённым интегральным преобразованием между представлениями фазового пространства и операторного пространства. Самое главное, что квазивероятностное распределения Вигнера — это преобразование Вигнера матрицы плотности, и, наоборот, матрица плотности — это преобразование Вейля функции Вигнера.

В отличие от оригинальных намерений Вейля в поиске последовательной схемы квантования, это отображение просто сводится к изменению представления квантовой механики. Для этого не нужно соединять «классические» и «квантовые» величины. Например, функции из фазового пространства могут зависеть явно от постоянной Планка ħ, как это происходит в некоторых привычных случаях, связанных с моментом импульса. Это обратимое представление позволяет построить квантовую механику в фазовом пространстве, что было сделано в 1940 году Хилбрандом Ж. Груневолдом[2] и Хосе Энрике Моялем.[3][4]


Определение квантования Вейля для наблюдаемой

Ниже описано преобразование Вейля заданном на самом простом, двухмерном евклидовом фазовом пространстве. Пусть координаты в фазовом пространстве (q,p) и f функция, определённая всюду в фазовом пространстве. В дальнейшем, предполагается что операторы Р и Q удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям, таких как привычное коммутационное соотношение между операторами координаты и импульса в представлении Шредингера. Мы предполагаем, что экспоненциальные операторы и представляют собой неприводимые представления соотношений Вейля, так что теорема Стоуна — фон Неймана (гарантирующая уникальность канонических коммутационных соотношений) выполняется.

Основная формула

Преобразование Вейля (или квантование Вейля) функции f можно выразить с помощью следующего оператора в гильбертовом пространстве,

Здесь это редуцированная постоянная Планка.

Проще выполнить интегрирование по p и q, которое имеет смысл вычисления обычного преобразования Фурье функции , оставляя операторы без изменений. В этом случае преобразование Вейля можно записать в виде[5]

.

Поэтому мы можем думать об отображении Вейля следующим образом: берем обычное преобразование Фурье функции , а затем применяя формулу обращения Фурье, мы заменяем квантовые операторы и для начальных классических переменных и , получая таким образом „квантовую версию .“

Менее симметричная форма, но и полезная для приложений, имеет вид,

В координатном представлении

Отображение Вейля можно выразить в терминах ядра интегрального оператора для матричных элементов,[6]

Обратное отображение

Обратное к вышеприведённому отображению Вейля называется отображением Вигнера, которое преобразует оператор Φ к исходной функции ядра в фазовом пространстве f,

Если заменить в приведенном выше выражении произвольным оператором, то функция f может зависеть от постоянной Планка ħ, и может хорошо описывать квантово-механические процессы при условии, что она правильно составлена, то есть с использованием звёздочного произведения (см. ниже).[7]

Квантование Вейля для полиномиальных наблюдаемых

Хотя приведенные выше формулы дают хорошее понимание квантования Вейля для наблюдаемых общего вида в фазовом пространстве, они не очень удобны для вычислений простых наблюдаемых, таких как те, которые представляются многочленами переменных и . В последующих разделах мы увидим, что для таких многочленов, квантование Вейля представляет собой полностью симметричный набор упорядоченных некоммутирующих операторов и . Например, отображение Вигнера квадрата оператора квантового углового момента L2 — это не просто классический момент импульса в квадрате, но оно также содержит смещение −3ħ2/2, которое приходится на неисчезающую часть углового момента боровской орбиты для основного состояния.

Свойства

Квантование Вейля для многочленов

Действие квантования Вейля на полиномиальные функции и полностью определяется следующей симметричной формулой:[8]

для всех действительных чисел и . Из этой формулы, нетрудно показать, что квантование Вейля функции вида даёт среднее для всех возможных упорядочиваний множителей и множителей . Например, для

Хотя этот результат концептуально понятен, он не очень удобен для вычислений, когда и большие. В таких случаях, мы можем использовать формулу Маккоя[9]

Это выражение дает явно другой ответ для случая очевидно отличный от совершенно симметричного выражения выше. Тут нет никакого противоречия, однако, поскольку канонические коммутационные соотношения позволяют более чем одно выражение для одного и того же оператора. Используя коммутационные соотношения можно переписать полностью симметричную формулу для случая в терминах операторов , и и проверить первое выражение в формуле Маккоя для .

Считается, что квантование Вейля, среди всех схем квантования, как можно ближе к отображению скобки Пуассона в классическом случае на коммутатор в квантовом случае. (Точное соответствие невозможно, в свете теоремы Груневолда[10])

Теорема: Если это полином степени не более 2 и  — произвольный многочлен, то .

Квантование Вейля функций общего вида

  • Если f — это вещественная функция, то её образ Вейля Φ[f] самосопряжен.
  • Если f является элементом пространства Шварца, то Φ[f] — ядерный оператор в гильбертовом пространстве.
  • В более общем случае, Φ[f] плотно определённый неограниченный оператор.
  • Отображение Φ[f] — взаимнооднозначное соответствие на пространстве Шварца (как подпространство квадратично интегрируемых функций).

Деформационное квантование

Интуитивно, деформация математического объекта — это семейство из того же рода объектов, которые зависят от некоторого параметра(ов). Здесь, она предоставляет правила для описания того, как деформируется «классическая» коммутативная алгебра наблюдаемых в квантовую некоммутативную алгебру наблюдаемых.

Основная идея деформационной теории заключается в том, чтобы начать с алгебраической структуры (скажем, алгебры Ли) и спросить: существует ли одно- или более параметрическое семейство подобных структур, таких, что для начального значения параметра(ов) имеет одинаковую структуру (алгебру Ли) с начальным элементом? (Старейшей иллюстрацией этого подхода может служить представление Эратосфеном в древнем мире идеи, что сферическая Земля это деформируемая плоская Земля, с параметром деформации 1/R.) Поскольку алгебры функций на пространстве определяет геометрию этого пространства, то изучение звёздочного произведения приводит к изучению некоммутативной геометрии деформации этого пространства.

В вышеуказанном контексте плоского фазового пространства, например, звёздочное произведение (произведение Мояля, фактически введенное Груневолдом в 1946 году), ħ, пары функций f1, f2C(ℜ2), определяется

Звёздочное произведение не является коммутативным в целом, но переходит к обычному коммутативному произведению функций в классическом пределе ħ → 0. Говорят, что определяют деформацию коммутативной алгебры C(ℜ2).

Для преобразования Вейля из примера выше, -произведение можно записать в терминах скобки Пуассона как

Здесь, Π — это пуассоновский бивектор. Оператор определён таким образом, что его степени

и

где {f1, f2} — скобка Пуассона. В более общем виде,

где  — биномиальный коэффициент.

Так, например,[11] гауссианы умножаются гиперболически,

или

и т. д. Эти формулы основаны на координатах, в которых бивектор Пуассона постоянен (обычные скобки Пуассона). Для общей формулы на произвольных многообразиях Пуассона, см. формулу квантования Концевича.

Антисимметризация этого -произведения известна как скобка Мояля, правильная квантовая деформация скобки Пуассона, и изоморфизм (преобразование Вигнера) квантового коммутатора из заданного в фазовом пространстве в гильбертовое пространство (обычная формулировка квантовой механики). Она представляет собой основу уравнений для квантовомеханических наблюдаемых в представлении фазового пространства.

Эти результаты используются для формулировки квантовой механики в фазовом пространстве, что полностью эквивалентна представлению операторов в гильбертовом пространстве.

Средние значения при квантовании в фазовом пространстве получены изоморфно к следовому оператору наблюдаемых Φ из матрицы плотности в гильбертовом пространстве: они получены путем интегрирования по фазовому пространству от наблюдаемых, таких как выше f с квазивероятностным распределением Вигнера в качетве меры. Классические выражения, наблюдаемых, и операций (таких как скобки Пуассона) изменяются за счёт ħ-зависимых квантовых поправок, а обычныая коммутативность умножения в классической механике обобщается на некоммутативное звёздочное умножение характеризующее квантовую механику и принцип неопределенности лежащий в её основе.

Следует подчеркнуть, однако, что, несмотря на свое название, деформационное Квантование не является успешной схемой квантования, а именно метод для создания квантовой теории из классической. Она позволяет всего лишь изменить представление из гильбертова пространства в фазовое пространство.

Обобщения

C большей обобщенностью, квантование Вейля изучается в тех случаях, когда фазовое пространство является симплектическим многообразием, или, возможно, пуассоновским многообразием. Родственные структуры включают группы Пуассона — Ли и алгебры Каца — Муди.

Ссылки

  1. Weyl, H. (1927). «Quantenmechanik und Gruppentheorie». Zeitschrift für Physik 46: 1–46. DOI:10.1007/BF02055756. Bibcode1927ZPhy...46....1W.
  2. Groenewold, H. J. (1946). «On the Principles of elementary quantum mechanics». Physica 12 (7): 405–446. DOI:10.1016/S0031-8914(46)80059-4. Bibcode1946Phy....12..405G.
  3. Moyal, J. E. (1949). «Quantum mechanics as a statistical theory». Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 45: 99. DOI:10.1017/S0305004100000487. Bibcode1949PCPS...45...99M.
  4. Curtright, T. L. (2012). «Quantum Mechanics in Phase Space». Asia Pacific Physics Newsletter 1: 37–46. arXiv:1104.5269. DOI:10.1142/S2251158X12000069.
  5. Hall, 2013 Section 13.3
  6. Hall, 2013 Definition 13.7
  7. Kubo, R. (1964). «Wigner Representation of Quantum Operators and Its Applications to Electrons in a Magnetic Field». Journal of the Physical Society of Japan 19 (11): 2127–2139. DOI:10.1143/JPSJ.19.2127. Bibcode1964JPSJ...19.2127K.
  8. Hall, 2013 Proposition 13.3
  9. McCoy, Neal (1932). «On the Function in Quantum Mechanics which Corresponds to a Given Function in Classical Mechanics», Proc Nat Acad Sci USA 19 674, online .
  10. Hall, 2013 Proposition 13.11
  11. Curtright, T. L. A Concise Treatise on Quantum Mechanics in Phase Space / T. L. Curtright, Fairlie, Zachos. — World Scientific, 2014. — ISBN 9789814520430.

Дальнейшее чтение