Кеплеровы элементы орбиты

Кеплеровские элементы орбиты, включая аргумент перицентра (рис.1)

Кеплеровы элементы — шесть элементов орбиты, определяющих положение небесного тела в пространстве в задаче двух тел:

  • большая полуось (),
  • эксцентриситет (),
  • наклонение (),
  • долгота восходящего узла (),
  • аргумент перицентра (),
  • средняя аномалия ().

Первые два определяют форму орбиты, третий, четвёртый и пятый — ориентацию плоскости орбиты по отношению к базовой системе координат, шестой — положение тела на орбите.

Эксцентриситет

Основная статья: Эксцентриситет орбиты
Части эллипса (рис.2)

Эксцентрисите́т (обозначается «» или «ε») — числовая характеристика конического сечения. Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия[1]. Эксцентриситет характеризует «сжатость» орбиты. Он выражается по формуле:

, где  — малая полуось (см. рис.2)

В зависимости от величины орбита представляет собой[2][3][4]:

  •  — окружность
  •  — эллипс
  •  — параболу
  •  — гиперболу,  — мнимое число
  •  — прямую (вырожденный случай)

Большая полуось

В случае если орбита является эллипсом, его большая полуось  положительна[2] и равна половине максимального размера эллипса в длину[5], то есть половине длины линии, соединяющей апоцентр и перицентр[2][3][4].

Определяется знаком и величиной полной энергии тела: [4]. Связана с положением и скоростью тела соотношением , где μ — гравитационный параметр, равный произведению гравитационной постоянной на массу небесного тела[2][3].

Наклонение

 – объект
 – центральный объект
 – плоскость отсчёта
 – плоскость орбиты
   – наклонение

Наклоне́ние <орбиты> (накло́н <орбиты>, накло́нность <орбиты>) небесного тела — это угол между плоскостью его орбиты и плоскостью отсчёта (базовой плоскостью).

Обычно обозначается буквой i (от англ. inclination). Наклонение измеряется в угловых градусах, минутах и секундах.

Если , то движение небесного тела называется прямым[6].
Если , то движение небесного тела называется обратным.

Зная наклонение двух орбит к одной плоскости отсчёта и долготы их восходящих узлов, можно вычислить угол между плоскостями этих двух орбит — их взаимное наклонение, по формуле косинуса угла.

Долгота восходящего узла

Долгота́ восходя́щего узла́ — один из основных элементов орбиты, используемый для математического описания ориентации плоскости орбиты относительно базовой плоскости. Определяет угол в базовой плоскости, образуемый между базовым направлением на нулевую точку и направлением на точку восходящего узла орбиты, в которой орбита пересекает базовую плоскость в направлении с юга на север. Для определения восходящего и нисходящего узла выбирают некоторую (так называемую базовую) плоскость, содержащую притягивающий центр. В качестве базовой обычно используют плоскость эклиптики (движение планет, комет, астероидов вокруг Солнца), плоскость экватора планеты (движение спутников вокруг планеты) и т. д. Нулевая точка — Первая точка Овна (точка весеннего равноденствия). Угол измеряется от направления на нулевую точку против часовой стрелки.

Восходящий узел обозначается ☊ или Ω.

Формула нахождения долготы восх. узла:

Здесь n — вектор, определяющий восходящий узел.

У орбит с наклоном, равным нулю Ω не определяется (она, как и наклон, равна нулю).

Аргумент перицентра

Аргуме́нт перице́нтра — определяется как угол между направлениями из притягивающего центра на восходящий узел орбиты и на перицентр (ближайшую к притягивающему центру точку орбиты небесного тела), или угол между линией узлов и линией апсид. Отсчитывается из притягивающего центра в направлении движения небесного тела, обычно выбирается в пределах 0°-360°.

При исследовании экзопланет и двойных звёзд в качестве базовой используют картинную плоскость — плоскость, проходящую через звезду и перпендикулярную лучу наблюдения звезды с Земли. Орбита экзопланеты, в общем случае случайным образом ориентированная относительно наблюдателя, пересекает эту плоскость в двух точках. Точка, где планета пересекает картинную плоскость, приближаясь к наблюдателю, считается восходящим узлом орбиты, а точка, где планета пересекает картинную плоскость, удаляясь от наблюдателя, считается нисходящим узлом. В этом случае аргумент перицентра отсчитывается из притягивающего центра против часовой стрелки.

Обозначается ().

Вместо аргумента перицентра часто используется другой угол — долгота перицентра, обозначаемый как . Он определяется как сумма долготы восходящего узла и аргумента перицентра. Это несколько необычный угол, так как он измеряется частично вдоль эклиптики, а частично — вдоль орбитальной плоскости. Однако часто он более практичен, чем аргумент перицентра, так как хорошо определен даже когда наклонение орбиты близко к нулю, когда направление на восходящий узел становится неопределенным[7].

Средняя аномалия

Анимация, иллюстрирующая истинную аномалию, эксцентрическую аномалию, среднюю аномалию и решение уравнения Кеплера.
Аномалии (рис.3)

Средняя аномалия для тела, движущегося по невозмущённой орбите — произведение его среднего движения и интервала времени после прохождения перицентра. Таким образом, средняя аномалия есть угловое расстояние от перицентра гипотетического тела, движущегося с постоянной угловой скоростью, равной среднему движению.

Обозначается буквой (от англ. mean anomaly)

В звёздной динамике средняя аномалия вычисляется по следующим формулам:

где:

  •  — средняя аномалия на эпоху ,
  •  — начальная эпоха,
  •  — эпоха, на которую производятся вычисления, и
  •  — среднее движение.

Либо через уравнение Кеплера:

где:

Примечания

  1. А. В. Акопян, А. А. Заславский Геометрические свойства кривых второго порядка, — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
  2. 1 2 3 4 Ишмухаметова М. Г., Кондратьева Е. Д. Решение задач по небесной механике и астродинамике : Учебно-методическое пособие для практических занятий по дисциплине «Небесная механика». — Казань : Физический факультет Казанского государственного университета, 2009. — 37 с.
  3. 1 2 3 С. А. Мирер. Механика космического полета.Орбитальное движение (2013). Дата обращения 7 июня 2020.
  4. 1 2 3 Е. И. Бутиков. Закономерности кеплеровых движений : Учебное пособие. — Санкт-Петербург : Санкт-Петербургский государственный университет, 2006. — 61 с.
  5. Keplerian Elements Tutorial (англ.). The Radio Amateur Satellite Corporation. Архивировано 14 октября 2002 года.
  6. То есть объект движется вокруг Солнца в том же направлении, что и Земля
  7. Hannu Karttunen, Pekka Kröger, Heikki Oja, Markku Poutanen, Karl Johan Donner. 6. Celestial Mechanics // Fundamental Astronomy. — 5-е изд. — Springer Science & Business Media, 2007. — С. 117—118.

См. также