Реклама

Икосаэдр

Правильный икосаэдр
Икосаэдр
Тип Правильный многогранник
Грань Правильный треугольник
Граней 20
Рёбер 30
Вершин 12
Граней при вершине 5
Группа симметрии Икосаэдрическая (Ih)
Двойственный многогранник Правильный додекаэдр
Двугранный угол 138.19°
Развертка икосаэдра
Икосаэдр и его описанная сфера

Пра́вильный икоса́эдр (от др.-греч.


εἴκοσι «двадцать»; ἕδρον «сиденье», «основание») — правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник[1], одно из Платоновых тел. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин — 12. Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм.

Вписанный икосаэдр, видно, что, согласно доказанному Паппом Александрийским, его вершины лежат в четырёх параллельных плоскостях.

История

Евклид в предложении 16 книги XIII «Начал» занимается построением икосаэдра, получая сначала два правильных пятиугольника, лежащих в двух параллельных плоскостях — из десяти его вершин, и затем — две оставшиеся противоположные друг другу вершины[2][3]:127-131. Папп Александрийский в «Математическом собрании» занимается построением икосаэдра, вписанного в данную сферу, попутно доказывая, что двенадцать его вершин лежат в четырёх параллельных плоскостях, образуя в них четыре правильных треугольника[3]:315-316[4].

Основные формулы

Площадь поверхности S, объём V икосаэдра с длиной ребра a, а также радиусы вписанной и описанной сфер вычисляются по формулам:

Площадь:

Объём:

Радиус вписанной сферы[5]:

Радиус описанной сферы[5]:

Свойства

Усечённый икосаэдр

Молекула фуллерена C60 — усечённый икосаэдр

Усечённый икосаэдр — многогранник, состоящий из 12 правильных пятиугольников и 20 правильных шестиугольников. Имеет икосаэдрический тип симметрии. По сути классический футбольный мяч имеет форму не шара, а усечённого икосаэдра с выпуклыми (сферическими) гранями.

В мире

Тела в виде икосаэдра

См. также

Примечания

  1. Селиванов Д. Ф.,. Тело геометрическое // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
  2. Euclid's Elements, Book XIII, Proposition 16.
  3. 1 2 Начала Евклида. Книги XI—XV. — М.—Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. — Помимо перевода на русский язык сочинения Евклида это издание в комментариях содержит перевод предложений Паппа о правильных многогранниках.
  4. Оригинальный текст на древнегреческом языке с параллельным переводом на латинский язык: Pappi Alexandrini Collectionis. — 1876. — Vol. I. — P. 150—157.
  5. 1 2 Доказательство приведено в: Cobb, John W. The Icosahedron (англ.) (2005-2007). Проверено 3 сентября 2014.
  6. OpenGL Red Book Ch.2 Архивировано 8 января 2015 года.

Литература