Евкли́дова геоме́трия (или элементарная геометрия) — геометрическая теория, основанная на системе аксиом, впервые изложенной в «Началах» Евклида (III век до н. э.).
Основные сведения
Элементарная геометрия — геометрия, определяемая в основном группой перемещений (изометрий) и группой подобия. Однако содержание элементарной геометрии не исчерпывается указанными преобразованиями. К элементарной геометрии также относят преобразование инверсии, вопросы сферической геометрии, элементы геометрических построений, теорию измерения геометрических величин и другие вопросы.
Элементарную геометрию часто называют евклидовой геометрией, так как первоначальное и систематическое её изложение, хотя и недостаточно строгое, было в «Началах» Евклида. Первая строгая аксиоматика элементарной геометрии была дана Гильбертом. Элементарная геометрия изучается в средней общеобразовательной школе.
Аксиоматика
Задача аксиоматизации элементарной геометрии состоит в построении системы аксиом так,
чтобы все утверждения евклидовой геометрии следовали из этих аксиом чисто логическим выводом без наглядности чертежей.
В «Началах» Евклида была дана следующая система аксиом:
- От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
- Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
- Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг.
- Все прямые углы равны между собой.
- Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых углов, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых углов.
Эта система была достаточна для того, чтобы один математик понял другого,
но в доказательствах неявно использовались и другие интуитивно очевидные утверждения, в частности так называемая теорема Паша, которая не может быть выведена из постулатов Евклида.
В 1899 году Гильберт предложил первую достаточно строгую аксиоматику евклидовой геометрии.
Попытки улучшения евклидовой аксиоматики предпринимались до Гильберта Пашем, Шуром[en], Пеано, Веронезе, однако подход Гильберта, при всей его консервативности в выборе понятий, оказался более успешным.
Существуют и другие современные аксиоматики, наиболее известные:
Системы обозначений
Существует несколько конкурирующих систем обозначений.
- Точки обычно обозначаются прописными латинскими буквами
.
- Прямые обычно обозначаются строчными латинскими буквами
.
- Расстояние между точками
и
обычно обозначается
или
.
- Отрезок между точками
и
обычно обозначается
или
.
- Луч из точки
через точку
обычно обозначается
или
.
- Прямая через точки
и
обычно обозначается
или
.
- Треугольник с вершинами
,
и
обычно обозначается
или
.
- Площадь фигуры
обычно обозначается
или
.
- Угол, образованный лучами
и
, обычно обозначается
.
- Величина угла
обычно обозначается
.
- При этом для краткости величина угла часто обозначается строчной греческой буквой
.
См. также
Примечания
Литература